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1、,数学 A（理）,第八章 立体几何,45分钟阶段测试(十一),2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( ),一、选择题,C,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2.(2014广东)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是( ) A.(1,1,0) B.(1，1,0) C.(0，1,1) D.(1,0,1),3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,因为0a，b180，所以a，b120.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,因为0a
2、，b180，所以a，b60，正确.,因为0a，b180，所以a，b120.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,因为0a，b180，所以a，b180.故选B.,答案 B,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的 中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为( ),解析 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2， 以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴， 以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,E为BC1的中点， D(0,0,0)，E(1,2,1)，,设DE与平面BCC1B1所成角的平面
3、角为， 平面BCC1B1的法向量n(0,1,0)，,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,答案 C,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,4.在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是( ),解析 过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴， 以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，,设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,故选A.,答案 A,2,3,4,6,7,8,9,10
4、,1,5,5.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线， 垂足为H，则以下命题中，错误的命题是( ) A.点H是A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1 C.AH的延长线经过点C1 D.直线AH和BB1所成角为45,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,解析 A1BD为正三角形，其重心、外心、中心合一. ABAA1AD，H到A1BD各顶点的距离相等，A正确；CD1BA1，CB1DA1，CD1CB1C，BA1DA1A1，平面CB1D1平面A1BD，AH平面CB1D1，B正确；连接AC1，则AC1B1D1，B1D1BD，AC1BD，同理AC1BA1，AC1平面A1BD，A、
5、H、C1三点共线，C正确，故选D. 答案 D,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,6.若a、b是直线，、是平面，a，b，向量m在a上，向量n在b上，m(0,3,4 )，n(3,4,0)，则、所成二面角中较小的一个余弦值为_. 解析 由题意，m(0,3,4)，n(3,4,0)，,二、填空题,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,a，b，向量m在a上，向量n在b上，,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,7.(2013北京)如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上， 点P到直线CC1的距离的最小值为_. 解析 取B1C1中点E1，连接E
6、1E，D1E1，过P作 PHD1E1，连接C1H.EE1平面A1B1C1D1， PHEE1，,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,PH底面A1B1C1D1， P到C1C的距离为C1H.,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_.,设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,三、解答题,9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABC
7、D，DAB60，FC平面ABCD， AEBD，CBCDCF. (1)求证：BD平面AED； 证明 因为四边形ABCD是等腰梯形， ABCD，DAB60，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,所以ADCBCD120. 又CBCD，所以CDB30， 因此ADB90，即ADBD. 又AEBD，且AEADA，AE平面AED，AD平面AED， 所以BD平面AED.,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,(2)求二面角FBDC的余弦值. 解 由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC 平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直. 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，
8、建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB1，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,设平面BDF的一个法向量为m(x，y，z)，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,10.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平 面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，D为AB 边的中点，且CC12AB. (1)求证：AC1平面CDB1； 证明 连接BC1交B1C于点O，连接DO. 则O是BC1的中点，DO是BAC1的中位线，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,所以DOAC1. 因为DO平面CDB1，AC1平面CDB1， 所以AC1平面CDB1.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)求点B到平面B1CD的距离； 解 因为CC1平面ABC，所以BB1平面ABC， 所以BB1为三棱锥B1CBD的高，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(3)求二面角ACDB1的正切值.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,设平面CDB1的一个法向量为n1(x，y，z)，,令z1，得n1(0,4,1). 又易知平面ACD的一个法向量为n2(0,0,1).,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,设二面角ACDB1的平面角为，观察图形，可得,即二面角ACDB1的正切值为4.,
