《（全国通用）2018高考数学 2.2 函数的单调性与最值课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用）2018高考数学 2.2 函数的单调性与最值课件（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 函数的单调性与最值,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数的单调性: 增函数、减函数: 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI,如果对于任意x1,x2D, 且x1x2,则有: ()f(x)在区间D上是增函数_; ()f(x)在区间D上是减函数_.,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),单调区间: 若函数y=f(x)在区间D上是_或_,则称函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.,增函数,减函数,(2)函数的最值:,f(x)M,f(x)M,f(x0)=M,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)函数单调性与图象、
2、导数、运算及复合函数间的关系:,上升,下降,大于,小于,相同,相反,(2)对勾函数y=x+ (a0)的增区间为(-,- 和 ,+); 减区间为- ,0)和(0, ,且对勾函数为奇函数. (3)设x1,x2D(x1x2),则 0(或(x1-x2)f(x1)- f(x2)0)f(x)在D上单调递增; 0(或(x1-x2)f(x1)-f(x2)0)f(x)在D上单调递减.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:函数单调性的判定方法:图象法、定义法、导数法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论. (3)记忆口诀: 判断函数单调性,取值求差便可知. 区域中甲小于乙,先求甲乙函数值. 乙减甲的函
3、数值,差正单增函数知. 函数值差小于零,单减函数亦可知.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)函数y= 的单调递减区间为(-,0)(0,+).( ) (2)函数f(x)在区间a,b上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间 为a,b.( ) (3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)g(x)也是增函数.( ) (4)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函 数.( ),【解析】(1)错误.一个函数有多个单调区间应分别写,分开表示,不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接. (2)错误.f(x)在区间a,b上单调递增并不能排除f(x)在其他
4、区间上单调递增,而f(x)的单调递增区间为a,b意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增.,(3)错误.举反例:设f(x)=x,g(x)=x-2都是定义域R上的增函数,但是f(x)g(x)=x2-2x不是增函数. (4)正确.易知函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,由对称性可知结论正确. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P39A组T3改编)函数y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数, 则( ) A.k B.k- D.k- 【解析】选D.使y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数,则2k+10,即 k- .,(2)(必
5、修1P31例4改编)函数f(x)= 在-6,-2上的最大值和最小 值分别是 . 【解析】函数f(x)= 在-6,-2上单调递减,最大值为f(-6)= 最小值为f(-2)= 答案:,(3)(必修1P39B组T1改编)f(x)=x2-2x,x-2,4的单调递增区间为 ,f(x)max= . 【解析】因为函数f(x)=x2-2x的对称轴为x=1,所以函数f(x)=x2-2x(x-2,4)的单调递增区间为1,4,单调递减区间为-2,1).又f(-2)=4+4=8,f(4)=16-8=8,所以f(x)max=8. 答案:1,4 8,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014北京高考)在下列函数中,
6、在区间(0,+)上为增函数的是 ( ) A.y= B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1) 【解析】选A.y= 是(0,+)上的增函数;y=(x-1)2在(0,1)上是 减函数,在(1,+)上是增函数;y=2-x= 在xR上是减函数; y=log0.5(x+1)在(-1,+)上是减函数.,(2)(2015温州模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+), 则a的值为( ) A.-2 B.2 C.-6 D.6 【解析】选C.f(x)=|2x+a|= 因为函数f(x)的增区间是3,+), 所以 =3,即a=-6.,(3)(2015中山模拟)对于任意实数a,
7、b,定义mina,b= 设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=minf(x),g(x)的最 大值是 .,【解析】依题意,h(x)= 当02时,h(x)=3-x是减函数, 所以h(x)=minf(x),g(x)在x=2时,取得最大值h(2)=1. 答案:1,考点1 确定函数的单调性(区间) 【典例1】(1)(2014天津高考)函数f(x)= (x2-4)的单调递增 区间为( ) A.(0,+) B.(-,0) C.(2,+) D.(-,-2) (2)试讨论函数f(x)= ,x(-1,1)的单调性(其中a0).,【解题提示】(1)本题是对数函数与二次函数的复合函数,先求出
8、函数的定义域,然后根据复合函数单调性的判定方法,确定函数的单调递增区间. (2)用定义法或导数法进行判断.,【规范解答】(1)选D.函数f(x)= (x2-4)的定义域为(-,-2) (2,+),因为函数y=f(x)是由y= t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y= t在(0,+)上单调递减,g(x)在(-,-2)上单调递减,所以函数 y=f(x)在(-,-2)上单调递增.,(2)设x1,x2(-1,1)且x10,x12-10, 所以,因此当a0时,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当a0时,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x
9、2),此时函数在(-1,1)上为增函数.,【一题多解】解答本题,还有以下解法: f(x)= 当a0时,f(x)0. 所以当a0时,f(x)在(-1,1)上为减函数; 当a0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.,【互动探究】若本例题(2)中的函数变为“f(x)= ”,则f(x)在 (-1,1)上的单调性如何? 【解析】设-1x1x21, f(x)= f(x1)-f(x2)=,当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a0时,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增.,【规律方法】 1.判断或
10、证明函数的单调性的两种重要方法及其步骤: (1)定义法:其基本步骤是: (2)导数法:其基本步骤是:,2.确定函数的单调区间的方法 (1)定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的升、降写出它的单调区间. (3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.,【变式训练】(2015南昌模拟)函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调减区间为 . 【解析】因为f(x)= 其图象如图所示,所以函数y=f(x)的单调递增区间为(-,-1和0,1;单调递减区间为-1,0和1,+). 答案:-1,0和1,+),【加固训练
11、】1.(2015厦门模拟)设函数f(x)= g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是( ) A.(-,0 B.0,1) C.1,+) D.-1,0,【解析】选B.g(x)= 如图所示, 其递减区间是0,1).故选B.,2.设函数y=f(x)在(-,+)内有定义.对于给定的正数k,定义函数 fk(x)= 取函数f(x)=2-|x|.当k= 时,函数fk(x)的单 调递增区间为( ) A.(-,0) B.(0,+) C.(-,-1) D.(1,+),【解析】选C.由f(x) ,得-1x1,由f(x) ,得x-1或x1. 所以 故 (x)的单调递增区间为(-,-1).,3.设函数f(x
12、)=2x+a2-x-1(a为实数).若a0,用函数单调性定义 证明:y=f(x)在(-,+)上是增函数. 【证明】设任意实数x1x2,则f(x1)-f(x2) =(2x1+a2-x1-1)-( 2x2+a2-x2-1) =(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2) =(2x1-2x2),因为x10.又2x1+x20, 所以f(x1)-f(x2)0,所以y=f(x)在(-,+)上是增函数.,考点2 确定函数的最值(值域) 【典例2】(1)函数y= -x(x0)的最大值为 . (2)函数y= 的值域为 . 【解题提示】(1)利用换元法求解. (2)采用分离法,即将分子变为(x2-x+1)-1的形
13、式,转化后求解.,【规范解答】(1)令t= ,则t0,所以y=t-t2= 结合图象,当t= ,即x= 时,ymax= . 答案:,(2)y= 因为x2-x+1= 所以 即 y1. 故值域为 答案:,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 去分母,整理,得(y-1)x2-(y-1)x+y=0. 易知y1,故上式可看作是关于x的二次方程. 因为xR,所以方程有实根, 所以=(y-1)2-4y(y-1)0, 解得- y1.又y1,故值域为 答案:,【规律方法】求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点
14、,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.,(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.,【变式训练】函数f(x)= (x1)的最小值为 . 【解析】方法一:基本不等式法: f(x)= =(x-1)+ +2 当且仅当x-1= ,即x=4时,f(x)min=8.,方法二:导数法:f(x)= ,令f(x)=0, 得x=4或x=-2(舍去). 当14时,f(x)0,f(x)在(4,+)上递增, 所以f(x)在x=4处达到最小
15、值,即f(x)min=f(4)=8. 答案:8,【加固训练】1.设函数g(x)=x2-2(xR),f(x)= 则f(x)的值域是( ) A.- ,0(1,+) B.0,+) C. ,+) D.- ,0(2,+) 【解析】选D.当x2或x-1时,f(x)=x2+x+2,f(x)(2,+); 当xg(x)即-1x2时,f(x)=x2-x-2,f(x)- ,0,故f(x)的值域 为- ,0(2,+).,2.(2013北京高考)函数f(x)= 的值域为 . 【解析】当x1时,f(x)= 是单调递减的,此时,函数的值域为 (-,0;x1时,f(x)=2x是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2). 综上,f(x)的值域是(-,2). 答案:(-,2),3.已知f(x)= ,x1,+). (1)当a= 时,求函数f(x)的最小值. (2)若对任意x1,+),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.,【解析】(1)当a= 时,f(x)=x+ +2,联想到g(x)=x+ 的单
