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1、.浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集1，2，3，集合2，集合，则A. B. C. 1， D. 1，2，3，【答案】C【解析】【分析】进行补集、并集的运算即可【详解】；1，故选：C【点睛】本题考查并集和补集的运算，是基础题.2.已知复数z满足为虚数单位，则z等于A. i B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件可得，再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果【详解】解：复数z满足，故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法，属于基础题3.设，那么“”是“”的A. 充分不必要条件 B
2、. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，但，故是的必要不充分条件.考点：充要条件4.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，排除B、C，又因为时，此时，所以排除D，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.5.已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，则的值为A. B. 9 C
3、. D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差，可得等差数列的通项公式，再设等比数列公比为q，运用等比数列的通项公式，即可得到所求值【详解】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，可得，解得，即有；设为公比为q的等比数列，且，可得，故选：C【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题6.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将已知条件两边平方，判断和的符号，将已知条件和联立，解方程组求得的值.【详解】由两边平方并化简得，而，故.由解得.故选A.【点睛】本小题
4、主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数值正负的判断，还考查了方程的思想，属于属于基础题.三角函数值的正负是由角所在的终边所在的象限来确定的，本题中题目给定角的取值范围，结合已知条件可以判断出正弦值和余弦值的符号，同时也可得到本小题解是唯一的.7.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又，不妨，又，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒
5、等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.8.设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可设的夹角为，根据为单位向量，对两边平方可得，整理可得，而该不等式对于任意的恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出【详解】解：是单位向量，设的夹角为；对两边平方得，；整理得，该不等式对任意实数恒成立；又；故选：D【点睛】本题考查单向量数量积的运算，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角，是综合题，注意平方后转化为9.已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A. 对任意，恰有一解 B. 对任意，恰
6、有两个不同解C. 存在，有三个不同解 D. 存在，无解【答案】A【解析】【分析】先通过导数研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选A【详解】当时，时，；时，在上递减，在上递增，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解故选：A【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，函数的单调性，属难题10.设，若三个数，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基
7、本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围【详解】，令，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选：C【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人
8、的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿_斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿_斗粟【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案【详解】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟故答案为：；【点睛】本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题12.已知函数，则_，若，则实数x的取值范围是_【答案】
9、(1). 2 (2). 或【解析】【分析】先求，再求； 分和两种情况代的解析式，解方程即可【详解】因为，当时，由得；当时，由3，得，故答案为：2，或【点睛】本题考查分段函数,解不等式属基础题13.已知，则_，又，则_【答案】 (1). (2). 3【解析】【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得的值；再利用两角差的正切公式求得的值【详解】解：已知，则，则，故答案为：；3【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题，注意配凑角的应用.14.在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，则角_，_【答案】 (1). (2). 6【解析】【分析】
10、由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：，结合，可求，结合范围，可求C的值，进而由余弦定理可求，解得a的值【详解】，由正弦定理可得：，可得：，可得：，又，由余弦定理，可得：，即，解得：，或舍去故答案为：，6【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题15.已知实数a，b满足，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先利用换元法求出，进一步利用设a，b为的两根，最后利用判别式求出结果【详解】设，则：，解得：，所以：，所以：，设a，b为的两根，则：，即：，利用，解得：，由于：，解得：故：，即：的取值范围是
11、故答案为：【点睛】本题主要考查换元法的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，判别式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型16.已知平面向量，满足，的夹角为，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】题意可设，结合已知可得，结合点到直线的距离公式及圆的性质可求【详解】，的夹角为，由题意可设，即，由圆的性质可知，上的点到直线的距离的最大值为：，则的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键17.已知函数，对于任意的，都存在使得成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为存在使的或成立，故或，通过
12、讨论b的范围求出m的范围即可【详解】的定义域为，函数在上单调递增，存在使得成立，存在使的或成立，或，当时，显然一定成立，当时，只能，即，故只需，又，故，故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数1求函数的最小正周期和单调递增区间；2当时，求函数的值域【答案】（1），；（2）【解析】【分析】1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间2当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域【详解】1求函数的最小正周期为令，求得，故函数的单调增区间为，2当
13、时，故函数的值域为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题19.已知等差数列满足：，1求数列的通项公式；2若，试求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1直接利用已知条件求出数列的通项公式2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和【详解】1设首项为，公差为d的等差数列满足：，所以：，解得：，故：2由1得：，则：，【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20.已知函数，其中1当时，求在上的值域；2若在上为单调函数其中e为自然对数的底数，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1将代入函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数在区间上的最大值和最小值，从而求出值域；2由函数在区间上单调递增，得出函数在区间上为增函数，从而转化为导数在区间上恒成立，且有，从而求出m的取值范围【详解】解：1当且当时，则，此时，函数在区间上单调递增，
