《2018-2019学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教a版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教a版选修（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四 直角三角形的射影定理,1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影. (3)射影:点和线段的正射影简称为射影.,【做一做1】 如图,ADBC,EFBC,垂足分别为点D,E.指出点A,B,C,D,E,F,G和线段AB,AC,AF,FG在直线BC上的射影. 解:由ADBC,EFBC可知,点A在直线BC上的射影是点D;点B在直线BC上的射影是点B,点C在直线BC上的射影是点C,点D在直线BC上的射影是点D,点E,F,G在直线BC上的
2、射影都是点E;线段AB在直线BC上的射影是DB,线段AC在直线BC上的射影是DC,线段AF在直线BC上的射影是DE,线段FG在直线BC上的射影是点E.,2.直角三角形的射影定理 (1)直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. (2)符号表示:如图,CD是RtABC的斜边AB上的高,则 AC2=ADAB;BC2=BDAB;CD2=ADDB.,名师点拨1.应用射影定理的条件 (1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高. 2.射影定理的逆定理仍然成立. 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的
3、比例中项,那么这个三角形是直角三角形. 符号表示:如图,在ABC中,CDAB于点D.若CD2=ADBD,则ABC为直角三角形.,【做一做2】 如图,在RtABC中,C是直角,CDAB于点D.若AD=4,BD=2,则CD= ,AC= ,BC= .,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)一条线段的射影不可能是点. ( ) (2)在RtABC中,C是直角,CDAB于点D,则AD2=ACAB. ( ) (3)如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项,那么这个三角形是直角三角形. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,
4、思维辨析,当堂检测,利用射影定理解决计算问题 【例1】 如图,D为ABC中BC边上的一点,CAD=B.若AD=6, AB=10,BD=8,求CD的长. 分析:由条件知ADB=90,即ADBC,进一步可得BAC=90,由射影定理求CD的长. 解:在ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,满足AB2=AD2+BD2, 故ADB=90,即ADBC. CAD=B,且C+CAD=90, C+B=90, BAC=90. 在RtBAC中,ADBC,由射影定理可知,AD2=BDCD,即62=8CD,故CD= .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用直角三角形的射影定理解决计算问题时,首先
5、要创造应用射影定理的条件,即构造直角三角形或垂直关系,然后再对照射影定理建立线段长度之间的等量关系,最后通过解方程求得相应线段的长度.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用射影定理解决证明问题 【例2】如图,在RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,DFAC于点F,DEAB于点E.证明: (1)ABAC=ADBC; (2)AD3=BCBECF. 分析:(1)可针对ABC的面积利用等积法证得;(2)在RtBAC中,有ABAC=ADBC,AD2=BDDC;在RtADB中,有BD2=BEAB;在RtADC中,有CD2=CFAC.由
6、这些关系式便可得到待证式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用直角三角形的射影定理证明恒等式 (1)结合图形,仔细分析题目的结论; (2)由于射影定理中可供选择的等式较多,需要合理选择.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2如图,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC于点F, DGBE于点G.求证:AFAC=BGBE. 证明:CD垂直平分AB, ACD和BED均为直角三角形,且AD=DB. 又DFAC,DGBE, AD2=AFAC,DB2=BGBE, AFAC=BGBE.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当
7、堂检测,利用射影定理解决综合问题 【例3】如图,在ABC中,D,F分别在AC,BC上,且ABAC, AFBC,BD=DC=FC=1,求AC的长. 分析:由题意,得ABC是直角三角形,AF为斜边上的高线,CF是直角边AC在斜边上的射影,AC为所求,已知BD=DC=1,即BDC是等腰三角形.因此,可以过点D作DEBC.由于DE,AF均垂直于BC,因此可以利用比例线段的性质,逐步等价转化求得AC的长.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:在ABC中,设AC=x.ABAC,AFBC,又FC=1, 根据射影定理,得AC2=FCBC,即BC=x2. 再由射影定理,得AF2=BFFC=(BC-F
8、C)FC,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟射影定理的综合应用注意点 1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”. 2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3如图,AD,BE是ABC的两条高,DFAB,垂足为点F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H.求证:DF2=GFHF. 证明:HFAB,BEAC, H+BAC=90,GBF+BAC=90,H=GBF. AFH=GFB=90,AFHGFB,AFBF=GFHF. 在RtABD中,FDAB,DF2=AF
9、BF, DF2=GFHF.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错用射影定理致误 【典例】 已知CD是RtABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长. 错解:ACCB,CDAB, 由射影定理,得AD2=ACAB=2025=500,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解:ACCB,CDAB, 由射影定理,得AC2=ADAB,CD2=ADDB,纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测
10、,变式训练在RtACB中,C=90,CDAB于点D.若ACCB=15,则ADDB= . 解析:由射影定理,得AC2=ADAB,CB2=BDAB,故AC2CB2=(ADAB)(BDAB)=ADBD=125. 答案:125,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.一条线段在某条直线上的射影不可能是( ) A.点 B.线段 C.直线 D.与该线段重合的一条线段 解析:线段在任何直线上的射影都不可能是直线. 答案:C 2.在RtABC中,A=90,ADBC于点D.若DCDB=9,则AD=( ) A.9 B.3 C.3 D.18 解析:由射影定理,得AD2=DCDB=9,解得AD=3. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.在RtACB中,C=90,CDAB于点D.若BDAD=14,则tanBCD的值是( ),解析:,答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.在一直角三角形中,斜边上的高为6 cm,且把斜边分成32两段,则斜边上中线的长是 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.如图,已知CD是RtACB斜边AB上的高,ACBC=34. (1)计算ADBD的值; (2)若AB=25,求CD的长. 解:(1)AC2=ADAB,BC2=BDAB,
