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1、2 含有绝对值的不等式,2.1 绝对值不等式,1.实数的绝对值的概念 (2)|a|的几何意义:|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离. (3)两个重要性质: ()|ab|=|a|b|; |a|b|a2b2.,(4)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点的距离. (5)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的距离. 2.绝对值不等式定理 (1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. (2)定理的另一种形式:对任意实数a和b,有|
2、a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,名师点拨 绝对值不等式定理的完整形式: |a|-|b|ab|a|+|b|. 其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab0,且|a|b|; (2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab0; (3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab0,且|a|b|; (4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab0.,【做一做】 若|lg ab|=|lg a|+|lg b|成立,则实数a,b满足的条件可以是( ) A.ab1 B.01 解析:由已知得|lg a+lg b|=|lg a|+|lg b|, 所以lg alg b0, 因此a1
3、且b1或0a1且0b1. 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)|a+b|a|+|b|中,等号成立的条件是a,b同号.( ) (2)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab0.( ) (3)数轴上任意一点到两点的距离之和都大于这两点间的距离.( ) (4)形如|x-a|+|x-b|的代数式只有最小值没有最大值.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 若|a-c|a|-|c| D.|b|0,|b|=b. 因为|a|-|c|a-c|,所以|a|-|c|b|,即选项C正确,这时|a|b|+|c|
4、,即选项A正确. 又|c|-|a|a-c|,所以|c|-|a|b|,故|c|b|+|a|,即选项B正确;由选项A成立知选项D错误. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 判断绝对值不等式是否成立的技巧. (1)注意对影响不等号的因素进行分析,如一个数(或式子)的正、负、零等,数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响,注意考查这些因素在不等式中的作用. (2)如果对不等式不能直接判断,可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断. (3)注意不等式性质尤其是传递性的正确应用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知实数a,b满足ab|a-b| B.|
5、a+b|a-b| C.|a-b|a|-|b| D.|a-b|a|+|b| 解析:因为ab0,所以|a-b|=|a|+|b|. 又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|a-b|. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】求解下列各题: (1)求函数f(x)=|x-4|-|x+2|的最大值和最小值. (2)若函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值等于5,求实数a的值. 分析(1)利用绝对值不等式求解,注意等号成立的条件;(2)先用a表示函数的最小值,再求得实数a的值. 解(1)由绝对值不等式可得|x-4|-|x+2|(x-4)-(x+2)|,即|x-4|-|x+2|6,所以-6|
6、x-4|-|x+2|6,故函数f(x)的最小值是-6,最大值是6. (2)由绝对值不等式可得|(x-a)-(x-1)|x-a|+|x-1|,即|x-a|+|x-1|1-a|,因此函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为|1-a|,于是|1-a|=5,解得a=-4或a=6.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用绝对值不等式求最值的技巧 (1)绝对值不等式定理反映了绝对值之间的关系,形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的函数的最值,均可利用绝对值不等式或其几何意义进行求解. (2)一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=
7、|x-a|-|x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|. (3)求最值时,还应注意等号成立的条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2(1)函数f(x)=|2x+1|+|2x-4|的最小值等于 . (2)若|x-2|-|x-3|m恒成立,则实数m的取值范围是 . 解析:(1)f(x)=|2x+1|+|2x-4|(2x+1)-(2x-4)|=5,所以函数的最小值为5. (2)因为函数y=|x-2|-|x-3|的最小值为-1,所以实数m的取值范围是(-,-1). 答案:(1)5 (2)(-,-1),探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析将欲证不等式左边进行变形,重新组合,与已知
8、条件相对应,再利用绝对值不等式证明. 证明|(A+B+C)-(a+b+c)| =|(A-a)+(B-b)+(C-c)| |A-a|+|B-b|+|C-c| 故原不等式|(A+B+C)-(a+b+c)|s成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用绝对值不等式证明的技巧 (1)含绝对值不等式的证明一般可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,通过适当的添项、拆项证明. (2)注意与不等式的性质及证明不等式其他方法的结合.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知|x-a|,|y-b|,求证:|x+3y-a-3b|
9、4. 证明|x+3y-a-3b| =|(x-a)+3(y-b)| |x-a|+|3(y-b)| =|x-a|+3|y-b|+3=4, 故原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对题意理解不清致误 【典例】 若关于x的不等式|x+5|+|x+7|a的解集不是R,则参数a的取值范围是 . 错解依题意,a(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a2. 正解若关于x的不等式|x+5|+|x+7|a的解集是R,即该不等式恒成立,因此a(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a2,故要使不等式的解集不是R,参数a的取值范
10、围是2,+). 纠错心得 本题错误在于对“解集不是R”的意义理解不清导致的,事实上,可以利用补集思想解决这个问题,即先求出使不等式解集为R的a的取值范围,再取其补集解得所求.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练若关于x的不等式|x+5|-|x-3|a有解,则实数a的取值范围是 . 解析:因为|x+5|-|x-3|的最大值等于8,所以当a8时,不等式|x+5|-|x-3|a无解,从而当不等式有解时,实数a的取值范围是(-,8). 答案:(-,8),1,2,3,4,5,1.若|a+b|a|+|b|,则必有( ) A.ab0 B.ab0 C.ab0 D.ab0 解析:因为|a+b|a|+|b
11、|,又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,因此必有ab0. 答案:B,1,2,3,4,5,2.函数f(x)=|x+2|+|x-2|的最小值为( ) A.4 B.2 C.0 D.-4 解析:因为|x+2|+|x-2|(x+2)-(x-2)|=4,所以函数f(x)的最小值为4. 答案:A,1,2,3,4,5,3.若|x-a|h,|y-a|k,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.|x-y|2h B.|x-y|2k C.|x-y|h+k D.|x-y|h-k| 解析:|x-y|=|(x-a)+(a-y)|x-a|+|a-y|h+k. 答案:C,1,2,3,4,5,4.函数f(x)=|4x-1|-|4x+2|的值域为 . 解析:因为|4x-1|-|4x+2|(4x-1)-(4x+2)|=3,所以-3|4x-1|-|4x+2|3,故函数f(x)的值域为-3,3. 答案:-3,3,1,2,3,4,5,
