《2018高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教版必修4（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,【自主预习】 主题1:向量的数量积 如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题:,(1)如何计算这个力所做的功? 提示:根据物理知识知W=|F|s|cos. (2)力F在位移s方向上的分力大小是多少? 提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cos.,(3)力和位移均可看作是数学上的向量,那么可否把“功”看作是向量间的新运算呢? 数量积:,已知两个非零向量a与b,我们把数量|a|b|cos,叫做a与b的数量积(或内积),其中是a与b的夹,角,ab=|a|b|cos,0, ab的几何意义:_ _.,数量积a
2、b等于a的长度|a|与b在a,方向上的投影|b|cos的乘积,主题2:数量积的性质 已知两个非零向量a,b,为a与b的夹角,据此回答下列问题: (1)若ab=0,则a与b有什么关系? 提示:由ab=|a|b|cos=0得cos=0. 所以=90,则ab.,(2)aa等于什么? 提示:aa=|a|a|cos0=|a|2. (3)ab与|a|b|有怎样的大小关系? 提示:由ab=|a|b|cos.-1cos1 得-|a|b|ab|a|b|. (4)如何求cos? 提示:cos= .,结合以上探究过程,试总结出向量数量积的性质及运算律: 性质:设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为,则, 运算律:,
3、(1)交换律：_. (2)数乘的结合律：(a)b=(ab) =_. (3)分配律：(a+b)c=ac+bc.,ab=ba,a(b),【深度思考】 结合教材P104例1你认为应怎样求向量a,b的数量积? 第一步:_. 第二步:_. 第三步:_.,分别求出向量a与b的模即|a|与|b|的值,求a与b夹角的余弦值,即cos,代入数量积公式ab=|a|b|cos求出ab,【预习小测】 1.已知|a|=8,|b|=4,=120,则向量b在a方向上的投影为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解析】选D.b在a方向上的投影为|b|cos=4cos120=-2.,2.若向量a,b满足|a|=|b|
4、=1,a与b的夹角为120,则aa+ab= ( ) A. B.1 C.- D.-1 【解析】选A.aa+ab=12+11cos120= .,3.0a= . 【解析】0a=0. 答案:0,4.ABC中,若 =0,则ABC= . 【解析】由 =0知, 从而ABC=90. 答案:90,5.已知|a|=6,|b|=5,ab=15,则向量a与向量b的夹角 为 . 【解析】设向量a与b的夹角为, 则cos= 又0180,则=60. 答案:60,【备选训练】设正三角形的边长为 , 求ab+bc+ca.(仿照教材P105例3的解析过程) 【解析】因为三角形为等边三角形,所以 |a|=|b|=|c|= ,且a与
5、b,b与c,c与a的夹角均为120. 所以ab+bc+ca=,【互动探究】 1.我们知道向量线性运算的结果是一个向量,试分析两个向量的数量积还是向量吗? 提示:两个向量的数量积是一个数量.,2.试讨论当两向量a,b的夹角取不同的值时,其数量积的变化情况. 提示:当=0时,cos=1,ab=|a|b|; 当为锐角时,cos0,ab0; 当为钝角时,cos0,ab0; 当为直角时,cos=0,ab=0; 当=180时,cos=-1,ab=-|a|b|.,3.线段m在直线n上的射影和向量m在n方向上的投影一样吗? 提示:不一样,线段m在直线n上的射影是线段或点,而向量m在n方向上的投影是数量.,4.
6、根据数量积的几何意义.请思考如何用数量积表示向量的投影. 提示:|a|cos= |b|cos=,5.对于任意向量a与b,是否总有(ab)2=a2b2成立? 提示:不一定,因为ab=|a|b|cos 所以(ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2 而a2b2=|a|2|b|2,所以(ab)2与a2b2不一定相等.,6.若两个向量的数量积大于零,则这两个向量的夹角一定是锐角吗?若两个向量的数量积小于零,则这两个向量的夹角一定是钝角吗? 提示:不一定.当ab0时,a与b的夹角为锐角或零角, 当ab0时,a与b的夹角为钝角或平角.,【探究总结】 知识归纳:,方法归纳:向量数量积的求法
7、 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.,【题型探究】 类型一:向量数量积的运算 【典例1】(2016兰州高一检测)已知|a|=10,|b|=12, a与b的夹角为120,求: (1)ab.(2)(3a) (3)(3b-2a)(4a+b).,【解题指南】运用平面向量数量积的定义及运算律求解.,【解析】(1)ab=|a|b|cos=1012cos120 =-60. (2)(3a) = (ab)= (-60)=-36. (3)(3b-2a)(4a+b)=
8、12ba+3b2-8a2-2ab =10ab+3|b|2-8|a|2=10(-60)+3122-8102=-968.,【规律总结】求向量数量积的注意事项 (1)要牢记数量积的运算公式. (2)要注意确定两个向量的夹角. (3)对于平行向量要注意两向量是同向还是反向.,【巩固训练】已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选B.(2a-b)b=2ab-|b|2 =211cos60-1=0.,类型二:与向量的模有关的问题 【典例2】(1)已知单位向量e1,e2的夹角为, 且cos= ,若向量a=3e1-2e2则|a|= . (2)已知
9、向量a与b的夹角为45,且|a|=1,|2a+b|= , 则|b|= .,【解题指南】(1)利用|a|2=a2求解. (2)利用|2a+b|2=(2a+b)2求解.,【解析】(1)由题意知e1e2=|e1|e2|cos =11 = ,则|a|2=a2=(3e1-2e2)2 所以|a|=3. 答案:3,(2)因为|2a+b|= ,所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4ab+b2=10, 又因为向量a与b的夹角为45且|a|=1, 所以4|a|2+4|a|b|cos45+|b|2=10, 故412+41|b| +|b|2=10, 整理得|b|2+2 |b|-6=0,解得|b|= 或|b|=-3
10、 (舍去). 答案:,【规律总结】求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系, 并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)aa=a2=|a|2或|a|= ,此性质可用来求向量的模, 可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(ab)2=a22ab+b2, (a+b)(a-b)=a2-b2等.,【巩固训练】1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b 方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|等于 ( ) A.1 B. C. D.3 【解题指南】先利用投影的定义,由a在b方向上的投影 与b在a方向上的投影相等分
11、析夹角,再求|a-b|.,【解析】选C.设a与b的夹角为,则由题意得 |a|cos=|b|cos,又因为|a|=1,|b|=2, 所以cos=2cos,所以cos=0, 又因为0180, 所以=90,所以ab=0, 所以(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2+|b|2=12+22=5. 所以|a-b|2=(a-b)2=5,所以|a-b|= .,2.设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则ab = ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【解析】选A.由 解得ab=1.,类型三:向量的夹角与垂直问题 【典例3】(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的
12、余弦值为 . (2)设向量a,b,c,满足a+b+c=0,(a-b)c,|a|=1,则|b|= .,【解题指南】(1)由|a|=|a+2b|可得|b|2与ab的关系,然后代入夹角公式求解. (2)根据a+b+c=0,(a-b)c,可得出向量a与b模相等.,【解析】(1)把|a|=|a+2b|两边平方,整理得ab= -|b|2,设a与b的夹角为, 则cos= 答案:-,(2)因为a+b+c=0,所以c=-(a+b). 因为(a-b)c,所以c(a-b)=0, 所以-(a+b)(a-b)=0, 所以a2-b2=0,所以|b|=|a|=1. 答案:1,【延伸探究】本题(2)中,若增加条件“ab”,求
13、|c|. 【解析】由已知可得c=-(a+b),而(a-b)c, 有(a-b)-(a+b)=0,所以a2-b2=0, 又|a|=1,得|b|=1,而ab, 所以c2=-(a+b)2=a2+2ab+b2=2, 即|c|= .,【规律总结】求向量夹角的方法 求两向量的夹角主要借助于公式cos= ,求解方 法有两种情况:一是根据已知条件求出ab,|a|与|b|, 代入公式求解;二是找出|a|,|b|与ab的关系通过约 分求解.,【巩固训练】(2016重庆高一检测)若非零向量a,b满 足|a|= |b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角 为 ( ),【解析】选A.因为(a-b)(3a+2b), 所以(a-b)(3a+2b)=0, 即3a2-2b2-ab=0, 即ab=3a2-2b2= b2,设a与b夹角为, 所以cos= 即= .,
