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1、第一章 数 列,3.1等比数列,北师大版必修五,2,北师大版必修五等比数列（第一课时）,1. 创设情景,兰州拉面,3,北师大版必修五等比数列（第一课时）,(1)拉面馆的师傅将一根很粗的面条,拉伸、捏合、再拉 伸、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条.,提出问题,这样捏合8次后可拉出多少根细面条?,第1次是1根,后面每次捏合都将1根变为2根,故有:,第2次捏合成21=2根;,第3次捏合成22=22根;,第8次捏合成226=27=128根.,前8次捏合成的面条根数构成一个数列,1,2,4,8,16,32,64,128,4,北师大版必修五等比数列（第一课时）,(2)宜春化工厂今年产值为a万元,
2、计划在以后5年中每 年比上年产值增长10%,试列出从今年起6年的产值 (单位:万元).,第1年产值:a;,第2年产值:a+a10%=a(1+10%);,第3年产值:a(1+10%)+a(1+10%)10%=a(1+10%)2;,第6年产值:a(1+10%)4+a(1+10%)10%=a(1+10%)5;,故这6年的产值构成一个数列:,a,北师大版必修五等比数列（第一课时）,5,（3）庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”,如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：,6,北师大版必修五等比数列（第一课时）,观察，并说出它们的共同特点.,它们的共同特点是： 从第二项起，每一项与前一项
3、的比都等于同一个常数。,（1）,（2）,（3）1，,1,2,4,8,16,32,64,128,a,数列(1),(2),(3)的公比分别为多少?,2、抽象概括,定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的,北师大版必修五等比数列（第一课时）,或,前一项的比都等于同一个常数，这个数列,就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列,的公比，公比通常用字母q表示(q0)。,7,符号表示,8,北师大版必修五等比数列（第一课时）,想一想：判断下列数列是否为等比数列。若是， 则公比是多少，若不是，请说明理由。,2) 16，8，4，1， 2；,5) 5，-25，125，- 625，；,3) 2，2，2，2，2，；,4)
4、 1，0，1，0，1，；,1) -2，-4，-8，-16，；,7）a, a, a, a, .,8）m,2m2,4m3,8m4, ,在等比数列中，q0时所有项同为正或同为负。,9,北师大版必修五等比数列（第一课时）,特点：,1、 “从第二项起”，“每一项”与“前一项”之比 为常数q,2、 隐含：任一项,且,3、,时，,为常数列,思考：公比q0,q0的等比数列各有何特点？,思考：an为常数列，则该数列为等比数列， 且公比为1这句话对吗？,q0时奇数项同号，偶数项同号,10,北师大版必修五等比数列（第一课时）,如果已知一个数列是等比数列,并且知道它的首项是a1 ，公比是q，怎样写出它的通项公式?,3
5、、试一试,n-1个式子相乘,归纳法,累乘法,11,北师大版必修五等比数列（第一课时）,若等比数列首项是a1 ，公比是q， 则这个数列的通项公式是,4、概括结论,那么，情景导入中的三个数列的通项公式是怎样的呢？,（1）an=2n-1,(2)an=a(1+10%)n-1,12,北师大版必修五等比数列（第一课时）,n-m个式子相乘,等比数列通项公式的推广,an=amqn-m,问题拓展：,问等比数列中任意两项之间的关系式 是什么？能否得到更一般的通项公式?,例如：数列an的首项是a1=1,公比q=2, 则通项公式是,上式还可以写成,可见，这个等比数列 的图象都在函数 的图象上，如右图所示。,0 1 2
6、 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,探究：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？,北师大版必修五等比数列（第一课时）,13,1.等比数列an中，a11，q3，则a8_,an=_.,2.一个等比数列的第9项是16，公比是2，则它的 第一项a1=_.,an=_.,14,北师大版必修五等比数列（第一课时）,3.等比数列an中，a32，a932，则q_,37,知识应用,例1,例2：一个等比数列的首项是2,第2项与第3项的和 是12.求它的第8项的值.,解:设等比数列的首项为a1,公比为q,则由已知,得,将式代入式,得,解得,或,当q=-3时,当q=2时,故数列的第8项为-4374或25
7、6.,北师大必修五等比数列（第一课时）,15,量,练等比数列中，填写下表：,解方程： 方程思想,思考：解题过程中体现了什么样的思想？,q,北师大必修五等比数列（第一课时）,48,4,16,17,北师大版必修五等比数列（第一课时）,an+1-an=d,d 叫公差,q叫公比,an= a1+(n-1)d,an=a1qn-1,an=am+(n-m)d,an=amqn-m,课堂小结,等 差 数 列,18,北师大必修五等比数列（第一课时）,方程思想,归纳思想,函数思想,作业布置：P30A组1-4题,思考题,北师大必修五等比数列（第一课时）,已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1. 求证：(1)数列an+1是等比数列， (2)求an的表达式。,19,
