《2018年高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第2讲 等差数列课件 文》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018年高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第2讲 等差数列课件 文(30页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲 等差数列,1.等差数列的定义,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等 差数列的公差,通常用字母_表示.,2.等差数列的通项公式,如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公,式是ana1(n1)d.,d,3.等差中项,4.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn_,5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系,数列an是等差数列SnAn2Bn(A,B为常数).,6.等差数列的常用性质 (1)数列an是等差数列,则数列anp,pan(p是常数)都是等差数列. (2)若mnpq(m,
2、n,p,qN*),则amanapaq; 特别地,若mn2p(m,n,pN*),则aman2ap. (4)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2kSk,S3kS2k,S4kS3k是等差数列. (5)等差数列的单调性:若公差d0,则数列单调递增;若公差d0,则数列单调递减;若公差d0,则数列为常数列.,7.等差数列的最值,小,在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最_值.,B,C,1.(2015年重庆)在等差数列an中,若a24,a42,则a6( ) A.1 B.0 C.1 D.6 解析:由等差数列的性质得a62a4a22240.故选B. 2.设Sn是等差数列an的前n项和,已知a23
3、,a611,则S7( ) A.13 B.35 C.49 D.63 3.在等差数列an中,若S11220,则a6_.,20,4.若数列an满足:a119,an1an3(nN*),而数列an,的前 n 项和数值最大时,n 的值为(,),B,A.6,B.7,C.8,D.9,解析:an1an3, 数列an是以19为首项,3为公差的等差数列. an19(n1)(3)223n. a7222110,a8222420, n7时,数列an的前n项和最大.,考点 1 等差数列的基本运算 例1:(1)(2015年新课标)已知an是公差为1的等差数列,,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10( ),答案:B,(
4、2)(2013年新课标)设等差数列an的前n项和为Sn,,Sm12,Sm0,Sm13,则m( ),A.3,B.4,C.5,D.6,答案:C,【规律方法】在解决等差数列问题时,已知a1,an,d,n,Sn中的任意三个,可求其余两个,称为“知三求二”.而求得a1和d是解决等差数列an所有运算的基本思想和方法.,【互动探究】,1.(2013年福建)已知等差数列an的公差d1,前n项和为Sn. (1)若1,a1,a3成等比数列,求a1; (2)若S5a1a9,求a1的取值范围.,考点 2,等差数列的基本性质及应用,例2:(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9等于( )
5、 A.63 B.45 C.36 D.27 解析:(1)方法一,设其公差为d, S3a1a2a33a23(a1d)9, a1d3.S6a1a2a3a4a5a63(a3a4) 3(2a15d)36,,a7a8a93a83(a17d)45. 方法二,由等差数列的性质,知:S3,S6S3,S9S6成等差数列, 2(S6S3)S3(S9S6). a7a8a9S9S62(S6S3)S345. 答案:B,(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,,且所有项的和为 390,则这个数列的项数为(,),A.13,B.12,C.11,D.10,答案:A,解析:因为a1a2a334,an
6、2an1an146, a1a2a3an2an1an34146180, 又a1ana2an1a3an2, 3(a1an)180,从而a1an60,,答案:2016,(4)可以把an与Sn结合起来,给计算带来很大便利,是解决 等差数列的有效方法. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比 数列的计算中非常重要,但也要用好“基本量法”,运用方程 的思想“知三求二”.,【规律方法】(1)利用等差数列an的性质“若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq”. (2)等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2kSk,S3kS2k,S4kS3k是等差数列.,【互动探究】,B,2.(2014年重庆)在等
7、差数列an中,a12,a3a510,则,a7( ),A.5,B.8,C.10,D.14,解析:方法一, a12,a3a52a16d46d10, d1,则a7a16d8. 方法二,a12,a3a510a1a7,a78.,3.(2015年广东)在等差数列an中,若a3a4a5a6a7,25,则a2a8_.,10,解析:因为an是等差数列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525即a55,所以a2a82a510,故应填入10.,考点 3,等差数列前 n 项和的最值问题,例3:(1)(2013年新课标)等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值为
8、_.,答案:49,(2)(2014年北京)若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,则当n_时,an的前n项和最大. 解析:由等差数列的性质,a7a8a93a8,a80, 又a7a100,所以a8a90. a90,所以S8S7,S8S9, 故数列an的前8项和最大.,答案:8,【互动探究】 4.(2014年江西)在等差数列an中,a17,公差为d,前n 项和为Sn,当且仅当n8时Sn取最大值,则d的取值范围为,_.,思想与方法,利用函数的思想求等差数列的最值,例题:在等差数列an中,若a125,S17S9,则Sn的最,大值为_.,思维点拨:利用前 n 项和公式和二次函数性质求解. 解析:
9、方法一,由S17S9,得,由二次函数性质知,当n13时,Sn有最大值169.,图 5-2-1,方法三,由S17S9,得a10a11a170, 而a10a17a11a16a12a15a13a14,故a13a140. d20, a130,a140. 故当n13时,Sn有最大值169. 方法四,由d2,得Sn的图象如图521(图象上一些孤立点).,当n13时,Sn取得最大值169. 答案:169 【规律方法】求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: 利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;利用等差数 列的性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;将等差数 列的前n项和SnAn2Bn(A,B为常数)看
10、作二次函数,根据 二次函数的性质或图象求最值.,1.等差数列的判定方法. (1)定义法:an1and(nN*,d是常数)an是等差数列; (2)中项法:2an1anan2(nN*)an是等差数列; (3)通项公式法:anknb(k,b是常数)an是等差数列; (4)前n项和公式法:SnAn2Bn(A,B是常数,A0)an是等差数列.,2.解决与等差数列有关问题时常见的思想方法. (1)函数思想:在等差数列中andnc(d、c为常数)是关于n的一次函数(或常数函数),Snan2bn(a、b为常数)是关于n的二次函数(或一次函数). (2)方程思想:准确分析a1,d,an,Sn,n之间的关系,通过列方程(组)可做到“知三求二”. (3)整体思想:在应用等差数列an的性质“若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq”时,要会用整体思想进行代换.,