《浙江专版2019版高考数学一轮复习第二章函数2.3二次函数与幂函数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版2019版高考数学一轮复习第二章函数2.3二次函数与幂函数课件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 二次函数与幂函数,高考数学,考点 二次函数与幂函数 一、二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数的三种表示形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0); (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a0); (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). 3.二次函数的图象和性质 (1)图象:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是以直线x=- 为对称轴的,知识清单,抛物线,其开口方向由a的符号确定,顶点坐标为 . (2)性质:当a0时,若x ,则 f(x)单调递减,若x ,则 f(x)单调递增.
2、 当a0和ax2+bx+c0 时,二次项系数a都要变为正数.解一元二次方程时,二次项系数a同样也,变为正数.在解一个一元二次方程时,往往要借助于二次函数的图象来 解,见下列表格.,二、幂函数 1.幂函数的概念 (1)一般地,形如 y=x(R) 的函数叫做幂函数. (2)幂函数的图象都通过点 (1,1) . (3)在幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1中,为奇函数的是y=x,y=x3,y=x-1;为偶 函数的是y=x2;定义域为R的是y=x,y=x2,y=x3;定义域为0,+)的是y= ; 在第一象限内是增函数的是y=x,y=x2,y=x3,y= ,是减函数的是y=x-1. 2.
3、幂函数的图象及性质 (1)一般地,当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都通过点(0,0)、(1,1); b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大;,c.在第一象限内,1时,图象是向下凸的,01时,图象是向上凸的; d.在第一象限内,过(1,1)点后,越大,图象上升的速度越快. (2)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都通过点(1,1); b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凸的; c.在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近; d.在第一象限内,过(1,1)点后,|越大,图象下落的速度越快. 3.在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近
4、x轴(简记为“指大图 低”);在(1,+)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴(简记为“指 大图高”).,三个“二次”问题的处理方法 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”.它们 常结合在一起,而二次函数又是其核心.因此,利用二次函数的图象数形 结合是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题常借助 二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手 处理. 例1 (2017浙江镇海中学第一学期期中,20)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b R). (1)若对任意实数a,总存在实数m,当xm-1,m+1时,使得f(x)0恒成立, 求b的最大值;
5、(2)若存在xR,使不等式f(x)-ax-b2|x-a|-|x+1-a|成立,求a的取值范围.,方法技巧,解题导引 (1)由存在性知区间m-1,m+1是不等式f(x)0的解集的子集由子集关系得关于a,b的不等式分离变量得结论 (2)求命题的对立面,把存在性问题转化为恒成立问题分区间讨论去掉绝对值,利用函数最值解决恒成立问题求补集,得结论,解析 (1)易知=a2-4b0,由x2+ax+b0, 得 x , 依题意,对任意实数a,总存在实数m, 使得m-1,m+1 , 所以 - 2,即4ba2-4对于任意实数a恒成立. 故4b-4,即b-1,故b的最大值为-1. (4分) (2)先求使不等式x22|
6、x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值范围. 当xa-1时,不等式化为x2-x-1+a2(a-x),即x2+x-1a,亦即a - . 若a-1- ,即a ,则a- ,矛盾.,若a-10,解得a1+ 或a2(a-x),即x2+3x+13a,亦即3a0,解得a1+ 或a1+ . 若a1+ . (10分),当xa时,不等式化为x2+x+1-a2(x-a),即x2-x+1-a,亦即-a- ,所以- - . (13分) 综合得,使不等式x22|x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值 范围是- a1- . 故存在xR,使不等式f(x)-ax-b2|x-a|-|x+1-a|成立的a的
7、取值范围是a 1- 或a- . (15分),关于二次函数值域和最值的解题策略 1.研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时,最好是作出二次函数 的大致图象.特别是遇到对称轴固定而区间变化,或对称轴变化而区间 固定这两种情形时,利用函数图象作参考,可找出讨论时的分类标准. 2.对于f(x)0在区间a,b上恒成立的问题,一般等价转化为f(x)min0,x a,b. 对于f(x)0在区间a,b上恒成立的问题,一般等价转化为f(x)max0,x a,b. 若f(x)中含有参数,则要对参数进行讨论或分离参变量. 例2 (2017浙江衢州教学质量检测(1月),16)若f(x)=x2+ax+b(a,bR),
8、x -1,1,且|f(x)|的最大值为 ,则4a+3b= .,解题导引 取特殊值得关于a,b的不等式组消去a得b的值代入不等式组得a的 值结论,解析 由题可知, 即 而|1-a+b|+|1+a+b|2|1+b|,所以2|1+b|1, 解得- b- ,另一方面|b| 等价于- b , 所以b=- ,所以 解得a=0. 综上, 故4a+3b=- .,答案 -,幂函数的解题策略 1.在比较幂的大小时,必须结合幂的特点,选择适当的函数,借助单调性 进行比较.如果幂的底数相同,指数不同,可以利用指数函数的单调性比 较;如果幂的底数不同,指数相同,则可以利用幂函数的单调性比较;当幂 的底数和指数都不相同时
9、,常常要运用媒介法,即找到一个中间值,通过 比较两个幂与中间值的大小,确定两个幂的大小;当比较多个幂的大小 时,往往先判断这组数中每个幂与0,1等数的大小关系,据此将它们分成 若干组,再将同一组内的各数利用相关方法进行比较,最终确定各数之 间的大小关系. 2.有关幂函数的图象和性质问题,要充分利用幂函数的概念和第一象限 内图象的性质,借助函数的奇偶性、单调性解决.,例3 设a= ,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.acb B.abc C.cab D.bca,A,解析 y= 是R上的减函数,而 cb.,例4 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x)分别满足下列条件: (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是(0,+)上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5)是二次函数.,解析 (1)f(x)是幂函数, m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. (2)若f(x)是幂函数且是(0,+)上的增函数,则 m=-1. (3)f(x)是正比例函数, -5m-3=1,得m=- , 此时m2-m-10,m=- . (4)f(x)是反比例函数,-5m-3=-1,得m=- . 此时m2-m-10,m=- . (5)f(x)是二次函数, -5m-3=2,得m=-1. 此时m2-m-10,m=-1.,
