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1、3.3 幂函数,第三章 基本初等函数(),学习目标 1.理解幂函数的概念. 2.掌握yx(1， ，1,2,3)的图象与性质. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 幂函数的概念,y ，yx，yx2三个函数有什么共同特征？,答案,答案 底数为x，指数为常数.,一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.,梳理,yx(R),知识点二 五个幂函数的图象与性质,1.在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2)yx ；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象如图.,2.五个
2、幂函数的性质,0，),x|x0,0，),y|y0,偶,奇,非奇非偶,奇,增,减,增,增,减,减,R,R,0，),R,R,R,奇,思考,知识点三 一般幂函数的图象特征,类比yx3的图象和性质，研究yx5的图象与性质.,答案,答案 yx3与yx5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当01时，x5x3x2x3，结合两函数性质，可得图象如下：,梳理,一般幂函数特征 (1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点 ； (2)0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间0，)上是 函数.特别地，当1时，幂函数的图象 ；当01)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排
3、列.,(1,1),原点,增,下凸,上凸,0,小,大,题型探究,例1 已知y(m22m2) 2n3是幂函数，求m，n的值.,解答,类型一 幂函数的概念,幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数.如：y3x2，y(2x)3，y 都不是幂函数.,反思与感悟,跟踪训练1 在函数y ，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； yx2x是两项和的形式，不是幂函数； y1x0(x0)，可以看出，常数函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个
4、点(0,1), 所以常数函数y1不是幂函数.,类型二 幂函数的图象及应用,解答,在同一坐标系里作出函数f(x)x2和g(x)x2的图象(如图所示)，观察图象可得：,(1)当x1或xg(x). (2)当x1或x1时，f(x)g(x). (3)当1x1且x0时，f(x)g(x).,解 h(x)的图象如图所示：,解答,注意本题中对f(x)g(x)，f(x)g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式和方程，是以后常用的方法.,反思与感悟,跟踪训练2 幂函数yx(0)，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB
5、恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有BMMNNA.那么等于 A.1 B.2 C.3 D.无法确定,答案,解析,1.故选A.,命题角度1 比较大小 例3 设 则a，b，c的大小关系是 A.abc B.bac C.bca D.cba,类型三 幂函数性质的综合应用,答案,解析,此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.,反思与感悟,跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：,解答,解 00.31， yx0.3在(0，)上为增函数.,解答,解 yx1在(，0)上是减函数，,解答,
6、解 yx0.3在(0，)上为增函数，,又y0.3x在(，)上为减函数，,命题角度2 幂函数性质的综合应用 例4 已知函数f(x) (mR)，试比较f(5)与f()的大小.,解答,f(x)的图象可由yx2的图象首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m0)(或向下(m5， f()f(2)f(5).,幂函数yx中只有一个参数，幂函数的所有性质都与的取值有关，故可由确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制的取值.,反思与感悟,跟踪训练4 已知幂函数f(x) (mN). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；,解答,解 mN， m2mm
7、(m1)为偶数. 令m2m2k，kN，则f(x) 定义域为0，)，在0，)上f(x)为增函数.,(2)若函数还经过(2， )，试确定m的值，并求满足f(2a)f(a1)的实数a的取值范围.,解答,解 2 ， m2m2， 解得m1或m2(舍去)， f(x)x ， 由(1)知f(x)在定义域0，)上为增函数. f(2a)f(a1)等价于2aa10， 解得1a,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,3.设1,1， ，3，则使函数yx的定义域为R的所有的值为 A.1,3 B.1,1 C.1,3 D.1,1,3,答案,2,3,4,5,1,4.下列是yx 的图象的是,答案,2
8、,3,4,5,1,5.以下结论正确的是 A.当0时，函数yx的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大 而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限,答案,2,3,4,5,1,规律与方法,1.幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性：1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸.,3.在具体应用时，不一定是yx，1， ，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.,本课结束,
