正弦余弦定理试题及答案

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1、正弦定理和余弦定理试题答案正弦定理和余弦定理试题答案 资阳中学资阳中学 一、选择题：(本大题共12小题，每小题6分，共60分，将正确答案的代号填在题后的 括号内) 1在ABC中，a15，b10，A60，则cosB( ) A B. C D. 解析：依题意得0B60，由正弦定理得得sinB，cosB，选D. 2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，则A ( ) A30 B60 C120 D150 解析：由sinC2sinB可得c2b，由余弦定理得cosA，于是A30，故选A. 3(2010江西)E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanEC

2、F( ) A. B. C. D. 解析：设AC1，则AEEFFBAB，由余弦定理得CECF，所以cosECF ， 所以tanECF. 答案：D 4ABC中，若lgalgclgsinBlg且B，则ABC的形状是( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 解析：lgalgclgsinBlg，lglgsinBlg.sinB. B，B，由ca， 得cosB. a2b2，ab. 答案：D 5ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B 30，ABC的面积为0.5，那么b为( ) A1 B3 C. D2 解析：2bac，acac2，a2c24b24，b2

3、a2c22acb2b. 答案：C 6已知锐角A是ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2Aco s2A，则( ) Abc2a Bbc2 Cbc2a Dbc2a 解析：由sin2Acos2A，得cos2A， 又A是锐角，所以A60，于是BC120. 所以cos1，bc2a. 答案：C 7、若ABC的内角A满足 2 sin2 3 A ，则sincosAA A. 15 3 B 15 3 C 5 3 D 5 3 解：由sin2A2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinAcosA0， 又 2 5 (sincos)1 sin2 3 AAA ，故选A 8、如果 111 ABC的

4、三个内角的余弦值分别等于 222 A B C的三个内角的正弦值，则 A 111 ABC和 222 A B C都是锐角三角形 B 111 ABC和 222 A B C都是钝角三角形 C 111 ABC是钝角三角形， 222 A B C是锐角三角形 D 111 ABC是锐角三角形， 222 A B C是钝角三角形 解：解： 111 ABC的三个内角的余弦值均大于0，则 111 ABC是锐角三角形，若 222 A B C是锐角三角形， 由 211 211 211 sincossin() 2 sincossin() 2 sincossin() 2 AAA BBB CCC ，得 21 21 21 2 2

5、 2 AA BB CC ，那么， 222 2 ABC ，所以 222 A B C是钝角三角形。故选D。 9、ABCA的三内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c设向量(, )pac b ,(,)qba ca ,若 /pq ,则角C的大小为 (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 2 3 【解析】【解析】 222 /()()()pqac cab babacab ，利用余弦定理可得 2cos1C ，即 1 cos 23 CC ，故选择答案B。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的 运算能力。 10、已知等腰ABC的腰为底的2倍

6、，则顶角A的正切值是（ ） 3 2 3 15 8 15 7 解：解：依题意，结合图形可得 15 tan 215 A ，故 2 2 15 22tan 15 152 tan 715 1 tan 1 () 2 15 A A A ，选D 11、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosB A 1 4 B 3 4 C 2 4 D 2 3 解：解：ABC中，a、b、c成等比数列，且2ca，则b=2a， 222 cos 2 acb B ac = 222 2 423 44 aaa a ，选B. 12、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A= 3 ,a=

7、3,b=1，则c= (A) 1 （B）2 （C）31 （D）3 解：解：由正弦定理得sinB 1 2 ，又ab，所以AB，故B30，所以C90，故c2，选B 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题后的横线上 ) 13、在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC ，则B的大小是_. 解： sin:sin:sin5:7:8ABC abc578设a5k，b7k，c8k由余弦定理可解得B的大小 为 3 . 14、在ABC中，已知 4 33 a，b4，A30，则sinB . 解：由正弦定理易得结论sinB 3 2 。 15、在ABC中，已知BC12，A60，B45

8、，则AC 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得， sin45sin60 ACBC 解得4 6AC 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理 16、已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 解析: 由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得 3 B AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD 。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 三、解答题：(17-21题12分，22题14分，写出证明过程或推演步骤)

9、 17。、已知ABC的内角A，B及其对边a，b满足abab，求内角C. 解：由abab及正弦定理得 sinAsinBcosAcosB， 即sinAcosAcosBsinB， 从而sinAcoscosAsincosBsinsinBcos， 即sinsin. 又0AB， 故AB，AB， 所以C. 18、在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2c b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc. 由余弦定理得a2b2c22bccosA，故c

10、osA，又A(0，)，故A120. (2)由(1)得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC. 又sinBsinC1，得sinBsinC. 因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形 19、如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6 ，求AB的长 解：在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得 cosADC， ADC120，ADB60. 在ABD中，AD10，B45，ADB60， 由正弦定理得，AB5. 20、已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（I）求边AB的长；（II）若 ABC的面积为 1 sin 6 C

11、，求角C的度数 解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得 1AB （II）由ABC的面积 11 sinsin 26 BC ACCCAA，得 1 3 BC AC A，由余弦定理，得 222 cos 2 ACBCAB C AC BC A 22 ()21 22 ACBCAC BCAB AC BC A A ，所以60C 21、ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，. 4 3 cosB （）求cotA+cotC的值； （）设 3 2 BA BC ，求ac的值. 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理

12、、余弦定理等 解：（）由, 4 7 ) 4 3 (1sin, 4 3 cos 2 BB得由b2=ac及正弦定理得 .sinsinsin 2 CAB 则 B CA CA ACAC C C A A CA CA 2 sin )sin( sinsin sincoscossin sin cos sin cos tan 1 tan 1 cotcot .7 7 4 sin 1 sin sin 2 BB B （）由 3 2 BA BC ，得cacosB 3 2 ，由B 3 4 ，可得ac2，即b22 由余弦定理b2=a2+c22ac+cosB，得a2+c2=b2+2accosB=5. 3, 9452)( 22

13、2 caaccaca 22、 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点， 测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离 解：如图，在ABP中，AB = 30 60 40 = 20， APB =30，BAP =120， 由正弦定理，得： BPA AB sin = BAP BP sin ，即 2 1 20 = 2 3 BP ，解得BP =320 在BPC中，BC = 30 60 80 = 40， 由已知PBC =90，PC = 22 BCPB = 22 20)320(=720 (海里) 所以P、C间的距离为720海里 评析：上述两例是在准确理解方位角的前提下，合理运用正弦定理把问题解决，因此，用正弦定理 解有关应用问题时，要注意问题中的一些名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等