《大高考2018版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大高考2018版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用课件理（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 导数的应用,知识点一 导数与函数的单调性、极值,1.函数的单调性与导数,在某个区间(a，b)内，如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.,2.函数极值的概念,(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,(2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程 的根； 检查f(x)的方程 的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负
2、，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 . (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.,f(x)0,f(x)0,极大值,极小值,利用导数解决单调性问题.,(1)求函数的单调区间函数f(x)x22ln x的单调递减区间为_.,答案 (0，1),(2)利用单调性求参数的取值范围函数f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数a的取值范围为_.,解析 f(x)3x2a，则3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，所以a3，且a3时，f(x)不恒为0.,答案 3，),有关极值的两个易混点：极值点；取极值条件.,(3)极值点是f(x)取
3、得极值时的x值函数f(x)x33x2的极小值点是_. 解析 f(x)3x26x3x(x2)，由f(x)0得x0或x2，当0x2时f(x)0，当x2时，f(x)0，所以x2是f(x)极小值点. 答案 2,(4)f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件若函数f(x)x2aln x在x1时取得极值，则a_.,答案 2,知识点二 导数与函数的最值及在实际生活中的应用,1.函数的最值,(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与 . (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的 ；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数
4、的最大值，f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,最小值,最大值,f(a)，f(b),2.解决优化问题的基本思路,利用导数求函数最值.,(5)若为闭区间，可直接比较函数值，若为闭区间注意，利用函数单调性求解函数f(x)x312x8在0，3上的最小值为_. 解析 f(x)3x212，由f(x)0得x2， 又f(0)8，f(2)8，f(3)1，所以f(x)最小值为8. 答案 8,突破利用导数研究函数单
5、调性的方法,利用导数求函数单调区间的步骤,(1)求函数f(x)的定义域； (2)求导函数f(x)； (3)在定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；若不等式中带有参数时，可对参数进行分类讨论； (4)确定函数f(x)的单调区间.,由函数的单调性求参数的取值范围的方法,(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)(f(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问
6、题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.,【例1】 已知函数f(x)exax1.,(1)求f(x)的单调增区间； (2)是否存在a，使f(x)在(2，3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,解 f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0， 即f(x)在R上单调递增，若a0，exa0，exa，xln a. 因此当a0时，f(x)的单调增区间为R， 当a0时，f(x)的单调增区间是ln a，). (2)f(x)exa0在(2，3)上恒成立. aex在x(2，3)上
7、恒成立. 又2x3，e2exe3，只需ae3. 当ae3时，f(x)exe3在x(2，3)上， f(x)0，即f(x)在(2，3)上为减函数，ae3. 故存在实数ae3，使f(x)在(2，3)上为减函数.,点评 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性； (2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题； (3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,导数与极值(最值)的求解方略,求函数f(x)极值的步骤,(1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x)； (3)解方程f(x)
8、0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论.,求函数f(x)在区间a，b上的最值的方法,(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.,(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点； (2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大
9、值.,点评 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.,利用导数求解不等式恒成立问题突破方略,利用导数证明不等式的方法,(1)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x).,利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值，各类不等式与函数最值关系如下：,注：上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最值对应关系的
10、不等式也改变.如果函数没有最值，则上述结果可以用函数值域相应的端点值表述.,【例3】 设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.,(1)求a，b的值； (2)证明：f(x)2x2.,当00； 当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.,点评 1.运用导数证明不等式f(x)g(x)成立的一般步骤： 第一步：构造h(x)f(x)g(x)； 第二步：求h(x)； 第三步：判断h(x)的单调性； 第四步：确定h(x)的最小值； 第五步：证明h(x)min0成立； 第六步：得出所证结论.,2.利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也是
11、高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点对应的函数值与0的关系，实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性，并通过单调性证明不等式.,导数与函数的综合问题,利用导数研究方程的根，函数的零点和图象交点问题，是高考题的典型题型，该类问题一般可通过导数研究函数的单调性、极值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，然后分析观察，列出相应不等式(或方程)求解，要注意转化与化归，函数与方程，数形结合，分类讨论思想的应用.,(1)求f(x)的单调区间与极值； (2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有公共点，求实数a的取值范围.,答题模板 第一步：确定函数定义域并求其导数f(x). 第二步：求函数f(x)单调区间. 第三步：由f(x)单调区间确定f(x)极值. 第四步：构造新函数F(x)并求其导数F(x). 第五步：求新函数F(x)的单调性. 第六步：利用单调性求 F(x)最值， 确定函数F(x)的零点， 即f(x)与g(x)图象交点个数. 第七步：明确规范地表述结论. 第八步：反思回顾，查看关键点，易错点及规范解答.,
