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1、,第三章 函数的应用,3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点,1理解函数零点的概念，以及了解函数的零点与方程根的关系(易混点) 2会求函数的零点(重点) 3掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数(难点),1函数的零点 对于函数yf(x)，把使_的实数_叫做函数yf(x)的零点 2函数的零点与方程的根的联系 函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的_，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的_,f(x)0,x,实数根,横坐标,3函数零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，
2、b)，使得_.这个c也就是方程f(x)0的根,f(a)f(b)0,f(c)0,1想一想 (1)函数的“零点”是一个“点”吗？ 提示：函数的零点是一个实数而非一个点，是函数图象与x轴交点的横坐标，当自变量取该值时，其函数值等于0. (2)是不是所有函数都有零点？,(3)如果函数yf(x)在a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，则yf(x)在(a，b)内一定没有零点吗？ 提示：不一定，如yf(x)x2在1,1上，虽有f(1)f(1)10，但其有零点x0.,答案：(1)3 (2)1,1对函数零点概念的认识 (1)函数的零点的本质是方程f(x)0的实数根，因此， 函数的零点不是点，而是一个实
3、数，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零 (2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点，反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y3，yx21就没有零点,(3)方程有几个解，则其对应的函数就有几个零点如果方程有二重实数根，可以称函数有二重零点若函数yf(x)有零点，则零点一定在其定义域内,(2)当函数yf(x)的图象在闭区间a，b上是连续曲线，但是不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点 (3)当函数yf(x)同时满足：函数的图象在闭区间a，b上是连续曲线；f(a)f(b)0，则可以判断函数yf(
4、x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点 (4)函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点,函数零点及求法,1函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零 2根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根即函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标,3函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)0的实数根； (2)几何法：与函
5、数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点,判断函数零点所在的区间,答案：(1)B (2)C,1确定函数零点所在区间的方法 确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反,2判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值 (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断 (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点,答案：C,答案：C,判断函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数,判断函数零点的个数,解：方法一：f(0
6、)10210， f(x)在(0,2)上必定存在零点， 又f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增函数 故f(x)有且只有一个零点,方法二：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点， 即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点,【互动探究】 将本例中函数解析式改为f(x)x3ln x呢？ 解：方法一：令f(x)x3ln x0， 则ln x3x， 在同一平面直角坐标系内画出函数yln x与yx3的图象，如图所示：,判断函数零点个数的方法 判断函数零点的个数主要有以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进
7、行判断； 法二：结合函数图象进行判断；,法三：借助函数的单调性进行判断若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示,思维创新系列(四) 二次函数的零点分布问题 关于x的方程ax22(a1)xa10，求a为何值时： (1)方程有一正一负根； (2)方程两根都大于1. 解：令f(x)ax22(a1)xa1. (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图(1)、(2)两种情况,(2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如图(3)、(4)两种情况,【借题发挥】解决有关二
8、次方程根的分布问题应注意以下几点： (1)构造相应的二次函数，转化为函数零点所在区间问题 (2)结合函数的大致图象考虑四个方面：与0的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向 (3)写出由题意得到的不等式,(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式时要注意条件的完备性 (5)几类常见二次方程根的分布情况需满足的条件(只讨论a0的情况，a0时可变形为a0的情况)见下表：,【多维探究1】本例已知条件不变，求a为何值时？ (1)方程有唯一实根； (2)方程一根大于1，一根小于1.,【多维探究2】 已知关于x的二次方程x22mx2m10，求m为何值时？ (1)方程一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内； (2)方程两根均在区间(0,1)内 解：设f(x)x22mx2m1. (1)函数f(x)的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内，由图(7)可知，,
