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1、第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算,1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：,Oxyz,x轴,y轴,z轴,(2)空间中点M的坐标： 空间中点M的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z 叫做点M的_. 建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x,y,z) 可建立一一对应的关系.,横坐标,纵坐标,竖坐标,2.空间两点间的距离 (1)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 = . 特别地，点P(x,y,z)与坐标原点O的距离为| |= . (2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2
2、)是空间中两点，则线段AB的中 点坐标为 .,3.空间向量的有关概念,1,相同,相等,0,相反,相等,平行或重合,平面,4.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充 要条件是存在实数，使得_. (2)共面向量定理：如果两个向量a,b_，那么向量p与向 量a,b共面的充要条件是存在_的有序实数对(x,y)，使 _. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c_，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得_.其中，a,b,c叫做空间的一个基底.,a=b,不共线,惟一,p=xa+yb,不共面,p=xa+yb+zc,5空间向量的数量积及运算律,a
3、,b,0a,b,|a|b|cosa,b,(ab),a(b),ba,ab+ac,AOB,6空间向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)， (a,b均为非零向量),a1b1+a2b2+a3b3,a1b1+a2b2+a3b3=0,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)空间中任意两非零向量a,b共面. ( ) (2)对于任意两个空间向量a,b,若ab=0，则ab. ( ) (3)在向量的数量积运算中(ab)c=a(bc). ( ) (4)对于非零向量b,由ab=bc,则a=c. ( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ),【解析】(
4、1)正确.由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面. (2)错误.若a与b是非零向量，才有ab=0ab. (3)错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量，(ab)c=c,a(bc)=a,故(ab)c与a(bc)不一定相等.,(4)错误.根据向量数量积的几何意义，ab=bc说明a在b方向上的射影与c在b方向上的射影相等，而不是a=c. (5)错误.两向量夹角的范围是0，两异面直线所成角的范围是(0， 答案:(1) (2) (3) (4) (5),1.在空间直角坐标系中，点A(1，1，1)与点B(2，2，-1)之间的距离为( ) (A) (B)6 (C)
5、(D)2 【解析】选A.由空间两点间的距离公式可得 .故选A.,2.有4个命题： 若pxa+yb,则p与a，b共面； 若p与a，b共面，则pxa+yb; 若 =x +y ，则P，M，A，B共面； 若点P，M，A，B共面，则 x +y .其中真命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选B.正确，中若a,b共线，p与a不共线，则p=xa+yb就不成立，正确，中若M，A，B共线，点P不在 此直线上，则 x +y 不正确.,3.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若 ， ,则的值等于_. 【解析】 答案:,4.已知空间三点A(1，1，1)，B(-1，0，4)，C(2，-2，
6、3)，则 的夹角_. 【解析】 (-2，-1，3)， (-1，3，-2)， (-2)(-1)+(-1)3+3(-2)=2-3-6=-7. | |= , | |= , cos = . 又0, = . 答案: ,5.在空间四边形ABCD中， =_. 【解析】设 =b， =c， =d， 则 =d-c, =d-b, =c-b. 原式=b(d-c)+(c-b)d-c(d-b)=0 答案:0,考向1 求空间点的坐标 【典例1】(1)(2013江门模拟)在空间直角坐标系中，点P(2，3，4)与点Q(2，3，-4)两点的位置关系是( ) (A)关于x轴对称 (B)关于xOy平面对称 (C)关于坐标原点对称 (
7、D)以上都不对 (2)已知正三棱柱ABC -A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.,【思路点拨】(1)根据点P，Q的坐标之间的关系判断. (2)分析正三棱柱底面三角形角的大小，正确选择原点及坐标轴建系. 【规范解答】(1)选B.P(2,3,4)与Q(2，3，-4)的横坐标与纵坐标相同，且竖坐标互为相反数. P与Q关于xOy平面对称.,(2)以A点为坐标原点，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AC的中点是D，连接BD， 则BDy轴，且BD= ， A(0,0,0),B( ,1,0),C(0,2,0)， A1(0,0
8、,2),B1( ,1,2),C1(0,2,2).,【互动探究】本例题(2)中若以AC的中点D为坐标原点，以DB,DC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标. 【解析】建立空间直角坐标系如图所示， 则A(0,-1,0),B( 0,0), C(0,1,0)，A1(0,-1,2), B1( 0,2),C1(0,1,2).,【拓展提升】求空间中点P的坐标的方法 (1)垂面法：过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标. (2)垂线法：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号
9、，进而可求得点P的坐标.,【变式备选】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为A1C1中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标. 【解析】如图，以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 从M点分别向平面yAz、 平面xAz、平面xAy作垂线. 正方体的棱长为2， M点的坐标为(1，1，2).同理，N点坐标为(1，0，1).,考向2 空间向量的线性运算 【典例2】(1)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8)，则3a-2b=_. (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 设 a, =b, =c,M，N，
10、P分别是AA1，BC，C1D1的中点， 试用a,b,c表示以下各向量： ； ； .,【思路点拨】(1)根据向量坐标运算的法则解题即可. (2)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算. 【规范解答】(1)3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8) =(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28). 答案:(5,13,-28),(2)P是C1D1的中点， N是BC的中点， =-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.,M是AA1的中点， - a+(a+c+ b)= a+ b+c. 又 = = c+a, =( a+ b+c)+(a+ c) = a+ b+ c.,
11、【互动探究】在本例题(2)中，若O为底面ABCD对角线AC与BD的交点，试用a,b,c表示向量 . 【解析】 -a+ (-c-b)=-a- b- c.,【拓展提升】空间向量线性运算的方法 空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同,【提醒】(1)进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点 (2)进行向量减法时，必须使两向量共起点,【变式备选】如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量 ， ， 表示向量,【解析】,考向3 共线向量
12、定理、空间向量基本定理的应用 【典例3】(1)已知向量a,b且 a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点是( ) (A)A，B，D (B)A，B，C (C)B，C，D (D)A，C，D,(2)已知a,b,c是空间的一个基底，a+b,a-b,c是空间的另一个基底，一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标是( ) (A)(4，0，3) (B)(3，1，3) (C)(1，2，3) (D)(2，1，3) 【思路点拨】(1)利用三点共线的条件验证即可. (2)用基底a+b,a-b,c表示p即可.,【规范解答】(1)选A. =-5a+6
13、b, =7a-2b, =(-5a+6b)+(7a-2b) =2a+4b. 又 =a+2b, =2 . BD与AB有公共点B，A,B,D三点共线.,(2)选B.向量p在基底a,b,c下的坐标为(4，2，3)， p=4a+2b+3c. 设p=x(a+b)+y(a-b)+zc =(x+y)a+(x-y)b+zc, 即 向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(3，1，3).,【拓展提升】空间共线向量定理、共面向量定理的应用,【变式训练】给出命题：若a与b共线，则a与b所在的直线平行；若a与b共线，则存在唯一的实数，使b=a；若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点， 则点M一定在平面ABC上，且
14、在ABC的内部.上述命题中的真命题是_.,【解析】中向量a与b所在的直线也有可能重合，故是假命 题；中当a=0,b0时，找不到实数,使b=a，故是假命 题；可以证明中A，B，C，M四点共面，因为 ，等式两边同时加上 则 即 0， ，则 与 ， 共 面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面， M是ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在ABC的内部， 故是真命题. 答案:,考向4 空间向量的数量积及其应用 【典例4】(1)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直，则k=_ (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，ACD=90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长.,【思路点拨】(1)利用两向量数量积等于零，列出方程求解即可. (2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用 表示 ，根据| |= 求解 【规范解答】(1)由题意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b= (3,2，-2)所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=0，解得k= 答案:,(2)AB与CD成60角， , =60或120， 又AB=AC=CD=1，ACCD，ACAB， | |= = | |=2或 . BD的长为2或
