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1、专题10 数学思想方法,第46练 分类讨论思想,思想方法解读,分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.,(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限
2、制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.,(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.,3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没
3、有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.,常考题型精析,高考题型精练,题型一 由概念、公式、法则、计算性质引 起的分类讨论,题型二 分类讨论在含参函数中的应用,题型三 根据图形位置或形状分类讨论,常考题型精析,题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论,例1 设集合AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若BA，求实数a的取值范围. 解 A0，4，BA，于是可分为以下几种情况. (1)当AB时，B0，4，,(2)当B A时，又可分为两种情况. 当B时，即B0或B4， 当x0时，有a1； 当x4时，有a7或a1. 又
4、由4(a1)24(a21)0， 解得a1，此时B0满足条件； 当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1. 综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为a1或a1.,点评 对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，BA，包括B和B两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.,若0a1，有a14，a2m，,题型二 分类讨论在含参函数中的应用,例2 已知函数f(x)x22ax1a在x0,1上有最大值2，求a的值. 解 函数f(x)x22ax1a (xa)2a2a1， 对称轴方程为xa. (1)当a0时，f(x)m
5、axf(0)1a， 1a2，a1.,(2)当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1， a2a12， a2a10，,(3)当a1时，f(x)maxf(1)a， a2. 综上可知，a1或a2.,点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值.,变式训练2 (2015江苏)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR). (1)试讨论f(x)的单调性； 解 f(x)3x22ax，,当a0时，因为f(x)3x20， 所以函数f
6、(x)在(，)上单调递增；,(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3) 求c的值. 解 由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，,因为函数f(x)有三个零点时，,此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，,因函数有三个零点， 则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根， 所以(a1)24(1a)a22a30， 且(1)2(a1)1a0，,综上c1.,题型三 根据图形位置或形状分类讨论,A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8,取点A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4). (1)当
7、3s4时，可行域是四边形OABC，如图(1)所示，此时，7z8.,(2)当4s5时，此时可行域是OAC，如图(2)所示，zmax8.综上，z3x2y最大值的变化范围是7,8.,答案 D,点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类 讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.,解 若PF2F190，,若F1PF290，,高考题型精练,1.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有( ) A.f(
8、0)f(2)2f(1) 解析 依题意，若任意函数f(x)为常函数时， 则(x1)f(x)0在R上恒成立；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,若任意函数f(x)不是常函数时， 当x1时，f(x)0，函数f(x)在(1，)上是增函数； 当xf(1)，f(2)f(1)， 综上，则有f(0)f(2)2f(1). 答案 C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.已知数列an的前n项和Snpn1(p是常数)，则数列an是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对,高考题型精练,解析 Snp
9、n1， a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)， 当p1且p0时，an是等比数列； 当p1时，an是等差数列； 当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列. 答案 D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,只有直线ykx1与直线x0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,4.(20
10、14四川)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是( ),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,解析 由动直线xmy0知定点A的坐标为(0,0)， 由动直线mxym30知定点B的坐标为(1,3)， 且两直线互相垂直， 故点P在以AB为直径的圆上运动. 故当点P与点A或点B重合时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当点P与点A或点B不重合时，在RtPAB中，有|PA|2|PB|2|AB|210. 因为|PA|2|PB|22|PA|PB|， 所以
11、2(|PA|2|PB|2)(|PA|PB|)2， 当且仅当|PA|PB|时取等号，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,答案 B,高考题型精练,5.抛物线y24px (p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析 当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上， 此时，点P的位置有两个； 当|OP|OF|时，点P的位置也有两个； 对|FO|FP|的情形，点P不存在. 事实上，F(p,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
12、又y24px，x22px0， 解得x0或x2p， 当x0时，不构成三角形. 当x2p(p0)时，与点P在抛物线上矛盾. 符合要求的点P一共有4个. 答案 C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,7.已知函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则a_. 解析 若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当x0即x1,0)时，,高考题型精练
13、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,g(x)在区间1，0)上单调递增， 因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上得a4. 答案 4,高考题型精练,8.(2014浙江)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析 输入n50，由于i1，S0， 所以S2011，i2，此时不满足S50； 当i2时，S2124，i3，此时不满足S50；,高考题型精练,当i3时，S24311，i4，此时不满足S50； 当i4时，S211426，i5，此时不满足S50； 当i5时，S226557，i6，此时满足S50， 因此输出i6. 答案
14、 6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,9.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以抛物线的方程为y24x.,高考题型精练,(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系. 解 由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2. 当m4时，直线AK的方程为x4， 此时，直线AK与圆M相离； 当m4时，由(1)知A(4,4)，,1,2,3,
15、4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,即4x(4m)y4m0， 圆心M(0,2)到直线AK的距离,令d2，解得m1.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以，当m1时，直线AK与圆M相离； 当m1时，直线AK与圆M相切； 当m1时，直线AK与圆M相交.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,若a0，则f(x)0，f(x)有单调递增区间0，).,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考题型精练,(2)设g(a)为f(x)在区间0,2上的最小值. 写出g(a)的表达式； 求a的取值范围，使得6g(a)2. 解 由(1)知，若a0，f(x)在0,2上单调递增， 所以g(a)f(0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
