《（全国通用）2018高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第六节 幂函数与二次函数课件 理 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用）2018高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第六节 幂函数与二次函数课件 理 (2)（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 幂函数与二次函数,1.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,是常数. (2)5种常见幂函数的图象(如图),(3)5种常见幂函数的性质,2.二次函数 (1)二次函数的定义:形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种常见的解析式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0); 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0),(m,n)为顶点坐标; 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),其中x1,x2分别为f(x)=0的两实根. (3)二次函数的图象与性质,3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内
2、在联系 (1)f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0(a0)的实根.,另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大; 反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越小. 4.常用的数学方法与思想 配方法、待定系数法、分类讨论思想、数形结合思想.,1.判断下列说法是否正确(打“”或“”). (1)函数f(x)=x2与f(x)=3x2都是幂函数.( ) (1) (2)函数f(x)=ax2+bx+c表示二次函数.( ) (2) (3)幂函数的图象恒过定点(1,1),(0,0).( ) (3) (4
3、)二次函数的图象是轴对称图形.( ) (4) (5)二次函数y=x2+mx+1在区间1,+)上单调递增的充要条件是m-2.( ) (5) 2.已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(1,3),则该函数的解析式为( ) A.y=2(x-1)2+3 B.y=2(x+1)2+3 C.y=-2(x-1)2+3 D.y=-2(x+1)2+3 2.C 【解析】设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a0),由题意可知a=-2,-h=1,k=3,故y=-2(x-1)2+3.,命题角度1:利用幂函数的图象判断幂指数大小,典例1 如图为幂函数y=xn在第一象限的图象,
4、则C1,C2,C3,C4的大小关系为 ( ) A.C1C2C3C4 B.C2C1C4C3 C.C1C2C4C3 D.C1C4C3C2,【解题思路】利用基本幂函数y=x2,y=x-1,y=x在第一象限作为参考并利用特殊值验算.观察图形可知C10,C20,且C11,而0C21,C30,C40,且C3C4. 【参考答案】 C,命题角度2:利用幂函数的性质比较大小,【解题思路】化为同底数幂与同指数幂后再进行大小比较.,【变式训练】,(2015贵阳模拟)函数y=ax(a0,a1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.ba0 B.a+b0 C.ab1 D.loga2b D 【解析】由
5、图可知a1,bloga1=0b,所以只有选项D一定成立.,典例3 (2015嘉兴统测)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,bR)满足条件:当xR时,f(x)的最大值为0,且f(x-1)=f(3-x)成立;二次函数f(x)的图象与直线y=-2交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求最小实数n(n-1),使得存在实数t,只要当xn,-1时,就有f(x+t)2x成立. 【解题思路】(1)根据条件得出函数的对称轴、最大值以及|AB|的长度,由此列出方程组得到相应的参数值,【变式训练】,(2015山东枣庄八中月考)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,
6、a0,xR). (1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x-1,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. 【解析】(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1, 所以b=2a. 因为方程f(x)=0有且只有一个根,即=b2-4a=0, 因此解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2. (2)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx =x2-(k-2)x+1,命题角度1:二次函数的最值问题 典例4 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0x1时有最大值2,求实数a的值.
7、 【解题思路】动轴定区间问题,应将对称轴从左向右移动进行讨论. 【参考答案】当对称轴x=a0时,如图1所示,当x=0时, y有最大值ymax=f(0)=1-a, 1-a=2,即a=-1,且满足a0,a=-1. 当对称轴0a1时,如图2所示,当x=a时,y有最大值ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1.,当对称轴a1时,如图3所示, 当x=1时,y有最大值, ymax=f(1)=2a-a=2, a=2,且满足a1,a=2. 综上可知,a的值为-1或2.,命题角度2:一元二次不等式恒成立问题,A.(-,-10,+) B.-1,0 C.0,1 D.-1,0) 【解题思路】利用分类讨
8、论,将不等式恒成立问题转化.,(2015嘉兴模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=2x+a(a,bR),且函数f(x)与g(x)的图象至多有一个公共点. (1)证明:当x0时,f(x)(x+b)2; (2)若不等式f(a)-f(b)L(a2-b2)对题设条件中的a,b总成立,求L的最小值. 【解析】(1)由题意得f(x)-g(x)=x2+ax+b-2x-a=x2+(a-2)x+b-a0恒成立, =(a-2)2-4(b-a)=a2+4-4b0, a24b-4,04b-4,1b. 又f(x)-(x+b)2=(a-2b)x+b(1-b), 又a24b-4b2, a|a|b2b, k=a-
9、2b0, f(0)-b2=b(1-b)0, 当x0时,f(x)(x+b)2.,【变式训练】,二次函数中最值与对称轴问题探究 二次函数是一种特殊的函数,主要涉及的知识有定轴定区间、定轴动区间、定区间动轴、最值、分离变量、恒成立、数形结合、分类讨论等,知识点多,内容丰富,可谓“动中有静,静中有动”. 典例 已知二次函数f(x)=x2-4x+2,求1x4上的f(x)的最值. 【解题思路】定区间、定轴的基本题,考查数形结合及学生对二次函数认识的基本能力. 【参考答案】f(x)max=f(4)=2,f(x)min=f(2)=-2.,【针对训练】 1.已知二次函数f(x)=x2-4x+2,求x1,a上的f
10、(x)的最值. 1.【解析】定轴,动区间(单边动)问题,考查学生数形结合与分类讨论的思想,关键是最大值里以a=3为分界线,而在最小值里以2为分界线. 最大值:当13时,f(x)max=f(a)=a2-4a+2. 最小值:当12时,f(x)min=f(2)=-2. 2.已知二次函数f(x)=x2+ax+2,求1x4上的f(x)的最大值. 2.【解析】定区间动轴问题,通常考查对动轴进行讨论,但此处采用相对运动,钉住轴变成定轴,而把区间运动,这是一种新的思维方法,且比动轴更好理解.,1.方程x2-4x+k=0在区间1,4上有实根,求k的取值范围. 1.【解析】二次函数问题转化为一元二次方程的解的问题,解法1:转换为两曲线的交点问题,数形结合易求;解法2:转化为求函数的值域问题,数形结合也易求,这是一道典型的化难为易的题. 解法1:x2-4x+k=0变形为x2-4x=-k,从而变为二次函数y=x2-4x与直线y=-k有交点问题,数形结合易得-4-k0,解得0k4. 解法2:x2-4x+k=0变形为k=-x2+4x,即此处的k相当于y,即变为求函数y=-x2+4x,x1,4的值域问题,易求得0y4,即0k4.,2.方程x2+kx+2=0在区间1,4上有实根,求k的取值范围. 2.【解析】定区间动轴的二次函数问题可转化为一元二次方程的解的问题,分离参数后可转化为求值域问题.,
