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1、第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词,考试要求 1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,A级要求;2.全称量词与存在量词的意义,A级要求;3.对含有一个量词的命题否定,A级要求,知 识 梳 理 1简单的逻辑联结词 (1)简单逻辑联结词有 (符号为)、 (符号为)、 (符号为綈) (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断,或,且,非,真,假,真,假,真,2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“ ”表示 (2)全称命题:含有 的命题 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”简记为 (3)存在量词:短语“存在一个”、“至少
2、有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“ ”表示 (4)存在性命题:含有存在量词的命题 存在性命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”,简记为 ,全称量词,xM,p(x),x0M,p(x0),3含有一个量词的命题的否定,x0M,綈p(x0),xM,綈p(x),诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”) (1)命题“56或52”是假命题 ( ) (2)命题綈(pq)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题 ( ) (3)“长方形的对角线相等”是存在性命题 ( ) (4)x0M,p(x0)与xM,綈p(x)的真假性相反 ( ),解析 (1)错误命题pq中,p,q有一真则真 (
3、2)错误pq是真命题,则p,q都是真命题 (3)错误命题“长方形的对角线相等”是全称命题 答案 (1) (2) (3) (4),2已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题綈p,綈q,pq,pq中真命题的个数为_ 解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,pq,pq都是真命题 答案 2,3(2015全国卷改编)设命题p:nN,n22n,则綈p为_ 解析 命题p的量词“”改为“”,“n22n”改为“n22n”,綈p:nN,n22n. 答案 nN,n22n,考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】 设a,b,c是非零向量已知命题p: 若ab0,bc0,则ac0;命题q:若ab,bc
4、,则ac.则下列命题: pq;pq;(綈p)(綈q);p(綈q) 其中真命题是_(填序号),解析 取ac(1,0),b(0,1),显然ab0,bc0,但ac10,p是假命题 又a,b,c是非零向量, 由ab知axb,由bc知byc, axyc,ac,q是真命题 综上知pq是真命题,pq是假命题 又綈p为真命题,綈q为假命题 (綈p)(綈q),p(綈q)都是假命题 答案 ,规律方法 (1)“pq”、“pq”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:明确其构成形式;判断其中命题p,q的真假;确定“pq”“pq”“綈p”形式命题的真假 (2)p且q形式
5、是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真必真,全假才假”,非p则是“与p的真假相反”,答案 ,解析 (1)因为全称命题的否定是存在性命题,命题p:xR,exx10的否定为綈p:x0R,ex0x010. (2)画出可行域如图中阴影部分所示, 由图可知,当目标函数zx2y, 经过可行域的点A(2,1)时,取 得最小值0,故x2y0,因此 p1,p2,是真命题 答案 (1)x0R,ex0x010 (2)p1,p2,规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和存在性命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命
6、题的否定只需直接否定结论 (2)判定全称命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个xx0,使p(x0)成立,答案 2,答案 (1)(1,3) (2)2,),规律方法 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤: 根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); 求出每个命题是真命题时参数的取值范围; 根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围 (2)全称命题可转化为恒成立问题,【训练3】 (2017衡水中学月考)设p:实数x满足x25ax4a20),q:实数x满足2x5. (1)若a
7、1,且pq为真,求实数x的取值范围; (2)若綈q是綈p的必要不充分条件,求实数a的取值范围,思想方法 1把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解 2含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:pq见真即真,pq见假即假,p与綈p真假相反 3要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是存在性命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题的区别;否定的规律是“改量词,否结论”,易错防范 1正确区别命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“綈p”,只是否定命题p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,2几点注意: (1)注意命题是全称命题还是存在性命题,是正确写出命题的否定的前提; (2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定; (3)注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,“且”的否定为“或”,