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1、高二数学高二数学抛物线抛物线人教版(理)人教版(理) 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容: 抛物线 二. 重点、难点: 1. 定义:平面内到定点 F 与到定直线l距离相等的点的轨迹为抛物线。 2. 标准方程:pxy2 2 pyx2 2 (0p) 3. 性质: (1)对称性:pxy2 2 关于x轴对称 pyx2 2 关于y轴对称 (2)顶点:(0,0) (3)离心率:1e 4. 参数方程:)0(2 2 ppxy pty ptx 2 2 2 (t为参数) 【典型例题典型例题】 例 1 求焦点在直线01243yx上的抛物线标准方程。 解:解: l与坐标轴交点为(4,0) (0,3) 所求抛
2、物线方程xy16 2 yx12 2 例 2 焦点在x轴的抛物线与圆014 22 xyx相交,它们在x轴上方交点为 A、B,线段 AB 的中点在直线0 yx上,求抛物线的方程。 解:解: 01)4( 014 2 22 2 xmx xyx mxy 0)2)(6(4)4( 2 mmm ),6(m方程的根为负数与mxy 2 矛盾 )0,(m方程的根为正数与mxy 2 矛盾 )2,0(m A),( 11 yx B( 22 , yx) mxx4 21 1 21 xx 2 1 2 21212121 )()(xxmxxmmxmxyy mmxxxxm6)2( 2 1 2121 AB 中点( 2 4m , 2 6
3、mm ) 若中点在0 yx上 )2,0( 2 6 2 4 m mmm )177( 2 1 m xy)177( 2 1 2 例 3 P 为平面上一点,过 P 作与抛物线)0(2 2 ppxy只有一个交点的直线可以作几条? AB y x O 解:解: AP 只有一条 P在曲线上只有两条 BP只有三条 例 4 顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线12 xy截得的弦长为15,求抛物 线方程。 解:解: 01)2(24 12 2 2 2 xax xy axy 151) 2 2 (541 2 21 a xxAB 42 a 2a或6a xy12 2 或xy4 2 例 5 过抛物线)0(2 2 ppxy的焦
4、点 F 的直线交抛物线于 A、B,求证: 2 21 pyy。 证明:证明: 斜率不存在py 1 ,py 2 , 2 21 pyy 斜率存在 pxy p xky 2 ) 2 ( 2 22 2 pk p y ky 2 21 2 2 p p k pk yy 例 6 O 为原点,A、B 为抛物线,xy2 2 上两点,并且 OAOB, 求 OAB S最小值; 弦 AB 中点 M 到直线022 yx距离最小值。 解:解: OA l:kxy OB l:x k y 1 2 2 12 k k OA 2 12kkOB OBOAS 2 1 422) 1 (2 k k(1k) A( kk 2 , 2 2 ) B(kk
5、2,2 2 ) M(k k k k 1 , 1 2 2 ) d(M,l)5/2) 1 () 1 (2 2 2 k k k k 5 6) 1 () 1 (2 2 k k k k 8 651 k 5 40 47 5 8 47 min d 例 7 求证:抛物线)0(2 2 ppxy的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为 0。 证明:证明: 设 A( 1 x, 1 y)B( 2 x, 2 y)C( 3 x, 3 y)D( 4 x, 4 y)在抛物线上 AB 中点 M( 2 21 xx , 2 21 yy )N( 2 43 xx , 2 43 yy ) 若ABx轴显然成立 AB、CD 均不垂直于x轴
6、 已知0 MN k 2 2 2 1 2 1 2 2 pxy pxy 2121 21 2 yy p xx yy kAB 同理: 4343 43 2 yy p xx yy kCD 0 MN k 22 4321 yyyy CDAB kk 0 4321 MNNMCDAB kyyyyyykk 例 8 抛物线pxy2 2 (0p)的焦点 F,过 F 的弦 AB 长为m,O 为原点,求 OAB S。 解:解: AB 斜率不存在 pm2 2 2 1 pS AB 斜率存在,设为k pxy p xky 2 ) 2 ( 2 0 4 )2( 22 222 pk pxkxk pxxm 21 p k k m2 1 2 2
7、 pmp m p pm k pk mS2 4 12 4 1 1 2 2 1 2 综上所述pmpS2 4 1 例 9 抛物线xy 2 上,存在 P、Q 两点,并且 P、Q 关于直线) 1(1xky对称,求 k的取值范围。 解:解: 方法一:方法一:设 P( 1 x, 1 y)Q( 2 x, 2 y) 2 2 2 1 2 1 xy xy )()( 212121 xxyyyy ) 1 2 (1 2 )( 1 2121 2121 xx k yy xx k yy kyy 21 ) 1 2 (1 2 2 2 2 1 yy k k 22)( 2 21 2 21 yyyy k 2)(22 11 2 ykykk
8、k 0222 3 1 22 1 kkykky 0)2(84 34 kkkk 0)42( 3 kkk 0)42( 3 kkk 0)22)(2( 2 kkkk )0,2(k 方法二:方法二: xy mkyx 2 0 0 2 mkyy 2 k y 中 k x 1 2 1 中 在形内xy 2 0 42 3 k kk )0,2(k 【模拟试题模拟试题】 (答题时间:35 分钟) 1. 抛物线xy4 2 的焦点 F,准线l交x轴于 R,过抛物线上一点 P(4,4)作 PQ l于 Q,则 PQRF S梯( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 抛物线xy 2 1 2 与椭圆1 28 22
9、 yx 的公共弦长为( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 3. 已知 A、B 是抛物线)0(2 2 ppxy上两点,O 为原点,若OBOA 且 OAB的垂心恰为抛物线的焦点,则 AB 的直线方程为( ) A. px B. px3 C. px 2 3 D. px 4 3 4. 抛物线)0( 1 2 ay a x与直线bkxy交于两点,它们横坐标为 1 x, 2 x,直线与 x轴交点为( 33, y x)则 1 x, 2 x, 3 x关系为( ) A. 213 xxxB. 21 3 11 xx x C. 323121 xxxxxxD. 213231 xxxxxx 5. 已知动点 P(x
10、,y)满足1243)2() 1(5 22 yxyx,则 P 点轨迹为( ) A. 抛物线 B. 直线 C. 双曲线 D. 椭圆 6. 两定点 A(2,1) ,B(2,1)动点 P 在抛物线 2 xy 上移动,则PAB垂心 G 的轨迹方程为( ) A. 3 1 2 xyB. 3 2 3 2 xy C. 3 2 2 2 xyD. 4 1 2 1 2 xy 7. P 为抛物线xy2 2 上一点,A(a,0) ,PA最小值为d,求)(afd 。 8. 已知抛物线 C:xy4 2 及 A(2,1) ,P、Q 为抛物线上动点 PAPF 的最小值; QAQF 的最大值。 A y x . . F O 【试题答案试题答案】 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 7. 解: 设 P( 0 x, 0 y)为抛物线上一点 0 2 0 2 0 2 0 2 0 22)(xaaxxyaxPA )0()12()1( 2 1 2 0 xaax ),1 a 1 ax 12 min aPA ) 1,(a时0x aPA min ) 1,( ),1 12 aa aa d 8. 解: ),(lpdPAPFPA3),(lAd P( 4 1 ,1) 2AFQAQF 此 Q(223,222)