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1、高二数学高二数学抛物线抛物线人教版（理）人教版（理） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 抛物线 二. 重点、难点： 1. 定义：平面内到定点 F 与到定直线l距离相等的点的轨迹为抛物线。 2. 标准方程：pxy2 2 pyx2 2 （0p） 3. 性质： （1）对称性：pxy2 2 关于x轴对称 pyx2 2 关于y轴对称 （2）顶点：（0，0） （3）离心率：1e 4. 参数方程：)0(2 2 ppxy pty ptx 2 2 2 （t为参数） 【典型例题典型例题】 例 1 求焦点在直线01243yx上的抛物线标准方程。 解：解： l与坐标轴交点为（4，0） （0，3） 所求抛
2、物线方程xy16 2 yx12 2 例 2 焦点在x轴的抛物线与圆014 22 xyx相交，它们在x轴上方交点为 A、B，线段 AB 的中点在直线0 yx上，求抛物线的方程。 解：解： 01)4( 014 2 22 2 xmx xyx mxy 0)2)(6(4)4( 2 mmm ),6(m方程的根为负数与mxy 2 矛盾 )0,(m方程的根为正数与mxy 2 矛盾 )2,0(m A),( 11 yx B（ 22 , yx） mxx4 21 1 21 xx 2 1 2 21212121 )()(xxmxxmmxmxyy mmxxxxm6)2( 2 1 2121 AB 中点（ 2 4m ， 2 6
3、mm ） 若中点在0 yx上 )2,0( 2 6 2 4 m mmm )177( 2 1 m xy)177( 2 1 2 例 3 P 为平面上一点，过 P 作与抛物线)0(2 2 ppxy只有一个交点的直线可以作几条？ AB y x O 解：解： AP 只有一条 P在曲线上只有两条 BP只有三条 例 4 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线12 xy截得的弦长为15，求抛物 线方程。 解：解： 01)2(24 12 2 2 2 xax xy axy 151) 2 2 (541 2 21 a xxAB 42 a 2a或6a xy12 2 或xy4 2 例 5 过抛物线)0(2 2 ppxy的焦
4、点 F 的直线交抛物线于 A、B，求证： 2 21 pyy。 证明：证明： 斜率不存在py 1 ，py 2 ， 2 21 pyy 斜率存在 pxy p xky 2 ) 2 ( 2 22 2 pk p y ky 2 21 2 2 p p k pk yy 例 6 O 为原点，A、B 为抛物线，xy2 2 上两点，并且 OAOB， 求 OAB S最小值； 弦 AB 中点 M 到直线022 yx距离最小值。 解：解： OA l：kxy OB l：x k y 1 2 2 12 k k OA 2 12kkOB OBOAS 2 1 422) 1 (2 k k（1k） A（ kk 2 , 2 2 ） B（kk
5、2,2 2 ） M（k k k k 1 , 1 2 2 ） d（M，l）5/2) 1 () 1 (2 2 2 k k k k 5 6) 1 () 1 (2 2 k k k k 8 651 k 5 40 47 5 8 47 min d 例 7 求证：抛物线)0(2 2 ppxy的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为 0。 证明：证明： 设 A（ 1 x， 1 y）B（ 2 x， 2 y）C（ 3 x， 3 y）D（ 4 x， 4 y）在抛物线上 AB 中点 M（ 2 21 xx ， 2 21 yy ）N（ 2 43 xx ， 2 43 yy ） 若ABx轴显然成立 AB、CD 均不垂直于x轴
6、 已知0 MN k 2 2 2 1 2 1 2 2 pxy pxy 2121 21 2 yy p xx yy kAB 同理： 4343 43 2 yy p xx yy kCD 0 MN k 22 4321 yyyy CDAB kk 0 4321 MNNMCDAB kyyyyyykk 例 8 抛物线pxy2 2 （0p）的焦点 F，过 F 的弦 AB 长为m，O 为原点，求 OAB S。 解：解： AB 斜率不存在 pm2 2 2 1 pS AB 斜率存在，设为k pxy p xky 2 ) 2 ( 2 0 4 )2( 22 222 pk pxkxk pxxm 21 p k k m2 1 2 2
7、 pmp m p pm k pk mS2 4 12 4 1 1 2 2 1 2 综上所述pmpS2 4 1 例 9 抛物线xy 2 上，存在 P、Q 两点，并且 P、Q 关于直线) 1(1xky对称，求 k的取值范围。 解：解： 方法一：方法一：设 P（ 1 x， 1 y）Q（ 2 x， 2 y） 2 2 2 1 2 1 xy xy )()( 212121 xxyyyy ) 1 2 (1 2 )( 1 2121 2121 xx k yy xx k yy kyy 21 ) 1 2 (1 2 2 2 2 1 yy k k 22)( 2 21 2 21 yyyy k 2)(22 11 2 ykykk
8、k 0222 3 1 22 1 kkykky 0)2(84 34 kkkk 0)42( 3 kkk 0)42( 3 kkk 0)22)(2( 2 kkkk )0,2(k 方法二：方法二： xy mkyx 2 0 0 2 mkyy 2 k y 中 k x 1 2 1 中 在形内xy 2 0 42 3 k kk )0,2(k 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：35 分钟） 1. 抛物线xy4 2 的焦点 F，准线l交x轴于 R，过抛物线上一点 P（4，4）作 PQ l于 Q，则 PQRF S梯（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 抛物线xy 2 1 2 与椭圆1 28 22
9、 yx 的公共弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 3. 已知 A、B 是抛物线)0(2 2 ppxy上两点，O 为原点，若OBOA 且 OAB的垂心恰为抛物线的焦点，则 AB 的直线方程为（ ） A. px B. px3 C. px 2 3 D. px 4 3 4. 抛物线)0( 1 2 ay a x与直线bkxy交于两点，它们横坐标为 1 x， 2 x，直线与 x轴交点为（ 33, y x）则 1 x， 2 x， 3 x关系为（ ） A. 213 xxxB. 21 3 11 xx x C. 323121 xxxxxxD. 213231 xxxxxx 5. 已知动点 P（x
10、，y）满足1243)2() 1(5 22 yxyx，则 P 点轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 直线 C. 双曲线 D. 椭圆 6. 两定点 A（2，1） ，B（2，1）动点 P 在抛物线 2 xy 上移动，则PAB垂心 G 的轨迹方程为（ ） A. 3 1 2 xyB. 3 2 3 2 xy C. 3 2 2 2 xyD. 4 1 2 1 2 xy 7. P 为抛物线xy2 2 上一点，A（a，0） ，PA最小值为d，求)(afd 。 8. 已知抛物线 C：xy4 2 及 A（2，1） ，P、Q 为抛物线上动点 PAPF 的最小值； QAQF 的最大值。 A y x . . F O 【试题答案试题答案】 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 7. 解： 设 P（ 0 x， 0 y）为抛物线上一点 0 2 0 2 0 2 0 2 0 22)(xaaxxyaxPA )0()12()1( 2 1 2 0 xaax ),1 a 1 ax 12 min aPA ) 1,(a时0x aPA min ) 1,( ),1 12 aa aa d 8. 解： ),(lpdPAPFPA3),(lAd P（ 4 1 ，1） 2AFQAQF 此 Q（223，222）
