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1、(2)范围 向量夹角的范围是 ，a与b同向时，夹角 ；a与b反向时，夹角 . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ，则a与b垂直，记作 .,0180,0,180,90,ab,提示：不正确求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.,2平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2，使a1e12e2. 其中，不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,不共线,有且只有,(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解 (3)平面向量
2、的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标,互相垂直,(x，y),(x，y),x,y,设 xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若 (x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立(O是坐标原点),(x，y),3平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算,(x1x2， y1y2),(x1x2， y1y2),(x1， y1),(2)向量坐标的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)则 ，即
3、一个向量的坐标等于 (3)平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则a与b共线ab .,(x2x1，y2y1),该向量终点的坐标减去始点的坐标,x1y2x2y10,若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件能不能写成 提示：不能因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2x2y10.,答案：A,2设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( ) A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6),解析：由题知4a(4，12)， 4b2c(6,20) 2(ac)
4、(4，2)， 由题意知：4a4b2c2(ac)d0， 则(4，12)(6,20)(4，2)d0， 即(2,6)d0，故d(2，6)，选D. 答案：D,答案：(2,4) (3,9) (5,5),答案：2,【例2】 (2009广东卷)若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，则a_. 思路分析：可以先设向量a的坐标为(m，n)，则由条件可以得到关于m，n的方程组，解方程组可得m，n的值,本题主要是考查向量加法的坐标运算及向量模的运算，信息量小，运算量少，考查了方程的思想.,变式迁移 2 已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求实数x的值 解：因为a(1
5、,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab， 所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)， v2(1,2)(x,1)(2x,3)， 又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0， 即10x5，解得x .,【例3】 如右图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标,求交点坐标问题就是共线向量的应用.,答案：D,向量的工具性在解析几何中可以得到充分地体现，因此，近年的高考中常有解析几何与平面向量交汇的题目向量的坐标运算在解析几何中的应用主要体现在：用向量给出的条件可以转化为向量的坐标的关系，而向量的坐标与曲线上点的坐标往往具有内在的联系，将这种内在的联系挖掘出来，也就
6、找到了解题的思路解析几何中的平行，求轨迹方程，求最值等问题都可以很容易地与平面向量结合起来，而向量的坐标运算也可以使这些问题的求解过程变得简单易行.,1在平面向量基本定理的学习中，要注意定理的应用条件，e1、e2是一组不共线向量，当基底确定后，这种表示是唯一的而对于基底的选取却不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为一组基底平面向量基本定理是平面向量的重要内容，它是向量运算数量化、代数化的依据，为后面的学习奠定了基础,在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多 2向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知的数量运算这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题,3向量的坐标(x，y)可以理解为是一种省略，省略了单位正交基底在有些证明题中需要还原回去，即(x，y)xiyj.,
