《2018高考数学一轮复习 平面向量的基本定理及其坐标表示课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学一轮复习 平面向量的基本定理及其坐标表示课件（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 平面向量的基本定理及其坐标表示,一、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么 对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2， 使a 其中， 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.,不共线 有且只有,1e12e2 不共线的向量e1，e2,2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正 交分解.,互相垂直,3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只 有一对实数x，y使axiyj，把有序数对 叫做向量a 的坐标，记作
2、a ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫 做a在y轴上的坐标. (2)设 xiyj，则 就是终点 A的坐标，即若 (x，y)，则A点坐标为 ，反之 亦成立(O是坐标原点).,(x，y),(x，y),x y,向量 的坐标(x，y) (x，y),1.向量的坐标与点的坐标有何不同？,提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量 的坐标与点A的坐标相同.,二、平面向量的坐标运算 1.加法、减法、数乘运算,(x1x2， y1y2),(x1，y1),(x1x2， y1y2),2.向量坐标的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，即
3、一 个向量的坐标等于 .,该向量终点的坐标减去始点的坐标,(x2x1，y2y1),3.平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)， 其中b0，则a与b共线a .,x1y2x2y10,b,2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件能表示成 吗？,提示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成 ，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为：x1x2y1y20，x1y1x2y20等.,1.已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab( ) A.平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分
4、线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线,解析：ab(0,1x2)，ab平行于y轴.,答案：C,2.若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c ( ) A.3ab B.3ab C.a3b D.a3b,解析：设cab，则(4,2)(，)，,答案：B,即,解得,3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)， C(3,1)，且 ，则顶点D的坐标为 ( ),C.（3，2） D.（1，3）,答案：A,解：设D（x,y）, (x,y-2), (4,3)又,即点D坐标为,4.若点O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)，且 ，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， 向量 的坐
5、标为 .,解析：O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)， (1,2)， (1,3)， 2(1,2)(2,4)， 3(1,3)(3,9). A(2,4)，B(3,9)， (32,94)(5,5).,答案：（2，4）（-3，9）（-5，5）,5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若 其中、R，则 .,解析：设 那么 ab. 又 ab， ，即,+=,a+b,a b,答案：,1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内 的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底 不同，表示也不同. 2.对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可 通过分析这两个表示式的关系
6、，来反映a与b的关系. 3.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形 法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.,【注意】 由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底向量.,如图在OAB中， AD与BC交于点M，设 a， 用a，b表示,由平面向量基本定理，利用共线向量条件及向量的加、减法法则即可解得结果.,因为A、M、D三点共线，所以 即m2n1.,【解】设,因为C、M、B三点共线，所以 即4mn1.,而,由 解得,所以,1.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中 点，已知 试用c，d表示,解：法一：设,则a=,将代入得a=d+,代入得b=c+,法二：设,因M
7、，N分别为CD，BC的中点，,所以,因而,即,即,(2d-c),(2c-d).,1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行， 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方程思想的运用. 2.利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相 同这一原则，通过列方程(组)进行求解.,3.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进 行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起 来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数 量运算.,已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设 (1)求：3ab3c； (2)求满足ambnc的实数m，n； (3)
8、求M、N的坐标及向量 的坐标.,利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、 终点坐标的关系求解.,【解】 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8). (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42). (2)mbnc(6mn，3m8n) (5，5)，,(3)设O为坐标原点， =3c (3,24)(3，4)(0,20). M(0,20). 又 2b， (12,6)(3，4)(9,2)， N(9,2). (9，18).,2.已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 试问： (1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？ (2)四边形OA
9、BP能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t值，若不能，请说明理由.,解：(1) (13t,23t). 若点P在x轴上，则23t0，解得 若点P在y轴上，则13t0，解得 若点P在第三象限， (2)若四边形OABP能成为平行四边形， 该方程组无解， 四边形OABP不能成为平行四边形.,解得t-,ab的充要条件有两种表达形式： (1)ab(b0)ab(R)； (2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10. 两种充要条件的表达形式不同，第(1)种是用线性关系的 形式表示的，而且有前提条件b0.而第(2)种是用坐标形 式表示的，且没有b0的限制.,平面内给定三个向量a(3,2
10、)，b(1,2)，c(4,1)，回答下列问题： (1)求满足ambnc的实数m、n； (2)若(akc)(2ba)，求实数k； (3)若向量d满足(dc)(ab)，且|dc| 求d.,(1)由两向量相等的充要条件可求得实数m、n的值； (2)由两向量平行的充要条件列出关于k的方程，进 而求得k的值； (3)由两向量平行及向量的模列方程组求解.,【解】 (1)由题意得 (3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)， (2)akc(34k,2k),2ba(5,2). 又(akc)(2ba)， 2(34k)(5)(2k)0， k=-,(3)设向量d坐标为(x，y)， 则dc(x4，y1)，a
11、b(2,4). 由题意知或 d的向量坐标为(3，1)或(5,3).,3.已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？,解：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a3b(1,2)3(3,2)(10，4). (kab)(a3b) (k3)(4)10(2k2)0 4k1220k200 24k8 k . 当k 时，kab与a3b平行. 此时kab ab (a3b)， kab与a3b反向.,平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代数问题来解决.特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点，2009年湖南卷就考查平面向量与三角
12、函数的结合.,(2009湖南高考)已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2). (1)若ab，求tan的值； (2)若|a|b|,0，求的值.,解 (1)因为ab，所以2sincos2sin， 于是4sincos，故tan (2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25， 所以12sin24sin25， 从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21， 于是 又由0知， 所以2+ 因此,2009年高考中考生主要犯了以下错误. 解(1)时ab的充要条件与ab的充要条件混淆，另外部分考生记不清ab的充要条件. 解(2)时，基本三角恒等变换不熟练或不恰当，影响结果如将4sin2写成2(1cos2)等.,
