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1、【优化指导】2015高考数学总复习 第1节 坐标系素能提升演练 理(含解析)新人教版选修4-41(2014陕西五校模拟)已知圆C的极坐标方程为2cos 2sin ,则圆心C的一个极坐标为_解析:极坐标方程化为直角坐标方程为x2y22x2y0,即(x1)2(y)24,圆心为(1,),其一个极坐标为.2在极坐标系中,过圆6cos 2sin 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为_解析:cos 3圆的直角坐标方程为(x3)2(y)211,故圆心坐标为(3,),因此过圆心与x轴垂直的直线方程为x3,其极坐标方程为cos 3.3(2014汕头调研)在极坐标系中,4sin 是圆的极坐标方程,则点A到圆心C
2、的距离是_解析:2圆的直角坐标方程为x2(y2)24,圆心为C(0,2),点A坐标即为(2,2),故所求的距离为|AC|2.4在极坐标系中,已知两圆C1:2cos 和C2:2sin ,则过两圆圆心的直线的极坐标方程是_解析:cos sin 1两圆C1:2cos 和C2:2sin 化为直角坐标方程为C1:(x1)2y21和C2:x2(y1)21,两圆圆心分别为(1,0),(0,1),过两圆圆心的直线方程为xy1,化为极坐标方程是cos sin 1.5(2014韶关模拟)已知圆的极坐标方程为2cos ,则该圆的圆心到直线sin 2cos 1的距离是_解析:圆的直角坐标方程为x2y22x0,圆心为(
3、1,0),直线的直角坐标方程为y2x1,即2xy10.所以圆心到直线的距离d.6(2012湖南高考)在极坐标系中,曲线C1:(cos sin )1与曲线C2:a(a0)的一个交点在极轴上,则a_.解析:把曲线C1:(cos sin )1化成直角坐标方程得xy1;把曲线C2:a(a0)化成直角坐标方程得x2y2a2.C1与C2的一个交点在极轴上xy1与x轴交点在C2上,所以20a2.又a0,a.7(2014揭阳模拟)已知曲线C1:2和曲线C2:cos,则C1上到C2的距离等于的点的个数为_解析:3将方程2与cos化为直角坐标方程得x2y2(2)2与xy20,知C1为圆心在坐标原点,半径为2的圆,
4、C2为直线,因圆心到直线xy20的距离为,故满足条件的点的个数为3.8在极坐标系中,圆4上的点到直线(cos sin )8的距离的最大值是_解析:8把4化为直角坐标方程为x2y216,把(cos sin )8化为直角坐标方程为xy80,圆心(0,0)到直线的距离为d4.直线和圆相切,圆上的点到直线的最大距离是8.9在极坐标系中,定点A,点B在直线cos sin 0上运动,当线段AB最短时,点B的极坐标为_解析:在直角坐标系中,点A坐标为(0,2),点B在直线xy0上,从而AB的最小值为点A到直线的距离,设过点A且与直线xy0垂直的直线方程为xyc0,得c2,由方程组得即点B坐标为,再转化为极坐
5、标为.10(2014广州毕业班测试)在极坐标系中,已知点A,点P是曲线sin2 4cos 上任一点,设点P到直线cos 10的距离为d,则|PA|d的最小值为_解析:曲线sin2 4cos 的化为直角坐标方程是y24x,直线化为直角坐标方程是x1.设抛物线的焦点为F,则点F(1,0)由抛物线的定义可知d|PF|,所以|PA|d|PA|PF|.故当点P是直线AF与抛物线y24x的交点时,|PA|d取得最小值且(|PA|d)min|AF|.11若直线3x4ym0与曲线22cos 4sin 40没有公共点,则实数m的取值范围是_解析:(,0)(10,)注意到曲线22cos 4sin 40的直角坐标方
6、程是x2y22x4y40,即(x1)2(y2)21.要使直线3x4ym0与该曲线没有公共点,只要圆心(1,2)到直线3x4ym0的距离大于圆的半径即可,即1,|m5|5,解得m10.故m的范围为(,0)(10,)12(2014湛江模拟)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:22cos 0,点P的极坐标为,过点P作圆C的切线,则两条切线夹角的正切值是_解析:圆C的极坐标方程:22cos 0化为普通方程:(x1)2y21,点P的直角坐标为(0,2),圆C的圆心为(1,0)如图,当切线的斜率存在时,设切线方程为ykx2,则圆心到切线的距离为1,k,即tan .易知满足题意的另一条切线的方程为x0.又两条
7、切线的夹角为的余角,两条切线夹角的正切值为.13. (2013江苏高考)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线sin与极轴的交点,求圆C的极坐标方程解:在sin中令0,得1,所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC 1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为2cos .14设过原点O的直线与圆(x1)2y21的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线解:圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ,设点P的极坐标为(1,1),点M的极坐标为(,),点M为线段OP的中点,12,1,将12,1代入圆的极坐标方
8、程,得cos .点M轨迹的极坐标方程为cos ,它表示圆心在点,半径为的圆15(2014南京调研)在极坐标系中,求圆4sin 上的点到直线cos 3的距离的最大值解:在圆的极坐标方程两边同时乘以得24sin ,化为直角坐标方程为x2y24y,即x2(y2)24,故圆的圆心坐标为(0,2),半径为2.将直线的极坐标方程cos 3化为直角坐标方程为xy60,所以圆的圆心到直线的距离为d32,故直线与圆相离,于是圆4sin 上的点到直线cos 3的距离的最大值为32.16(2014昆明模拟)已知曲线C的参数方程为,(是参数),P是曲线C与y轴正半轴的交点以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
9、系,求经过点P与曲线C只有一个公共点的直线l的极坐标方程解:把曲线C的参数方程,(是参数)化为普通方程得(x3)2y225,曲线C是圆心为P1(3,0),半径等于5的圆P是曲线C与y轴正半轴的交点,P(0,4)根据已知得直线l是圆C经过点P的切线kPP1,直线l的斜率k.直线l的方程为3x4y160.直线l的极坐标方程为3cos 4sin 160.17在极坐标系中,O为极点,半径为2的圆C的圆心的极坐标为.(1)求圆C的极坐标方程;(2)P是圆C上一动点,点Q满足3,以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,求点Q的轨迹的直角坐标方程解:(1)设M(,)是圆C上任一点,过点C作CHOM
10、于H点,则在RtCOH中,OHOCcosCOH.COHCOM,OHOM,OC2,2cos,即所求的圆C的极坐标方程为4cos.(2)设点Q的极坐标为(,),3,P的极坐标为,代入圆C的极坐标方程得4cos,即6cos 6sin ,26cos 6sin ,令xcos ,ysin ,得x2y26x6y,点Q的轨迹的直角坐标方程为x2y26x6y0.18(2014太原模拟)平面直角坐标系xOy中,点A(2,0)在曲线C1:,(a0,为参数)上以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为acos .(1)求曲线C2的普通方程;(2)已知点M,N的极坐标分别为(1,),若点M,N都在曲线C1上,求的值解:(1)由点A(2,0)在曲线C1上得a0,a2,2cos ,由,得(x1)2y21,曲线C2的普通方程为(x1)2y21.(2)由(1)得曲线C1:消去参数得y21.由题意得点M,N的直角坐标分别为(1cos ,1sin ),.点M,N在曲线C1上,sin2 1,cos2 1,.