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1、1,2.3 反证法与放缩法,2,常用不等式证明的方法: 比较法 分析法 综合法,3,思考,4,反证法,先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。,5,已知：x, y0, 且x+y2。试证明：,中至少有一个小于2。,分析：,于是考虑采用反证法。,1.从下面证明这个结论，要分三种情况；,2.结论的反面只有一种情况。,6,证明,因为x0, y0, 所以1+x2y, 1+y2x,把这两个不等式相加，得 2+x+y2x+2y , 2x+y , 即 x+y2,这与已知x+y2相矛盾。,因此，,
2、都不小于2是不可能的，,即原命题成立。,已知：x, y0, 且x+y2。试证明：,中至少有一个小于2。,利用假设的条件,7,已知：x, y0, 且x+y2。试证明：,中至少有一个小于2。,“至少” “至多”，“唯一”否 命题,8,反证法,1、步骤 假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面不成； 从条件和假定出发，通过正确的推理，导出矛盾； 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。,（关键）,9,证明：,假设a, b, c不全是正数，即其中至少有一,个不是正数，不妨设a0。分两种情况讨论。,如果a=0，则abc=0.这与已知abc0矛盾， 所以a=0是不可能的。,如
3、果a0得bc0,因为a+b+c0，所以b+c-a, b+c0, a(b+c)0,a(b+c)+bc0,这与已知ab+bc+ca0相矛盾。,所以，a0也不可能。,综上所述，a0,同理可证，b0, c0.,所以原命题成立。,已知a, b, c为实数，a+b+c0, ab+bc+ca0, abc0, 求证: a0, b0, c0。,所以ab+bc+ca0,10,已知a, b, c为实数，a+b+c0, ab+bc+ca0, abc0, 求证: a0, b0, c0。,全部具有某一性质（大于0）,11,反证法,反证法适用范围 1） 一些基本命题、基本定理； 2） “否定性”命题； 3） “唯一性”命题
4、； 4） “至多、至少”类命题；,12,放缩法,在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如： 要证ba,只须寻找b2使bb2且b2a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。,13,缩小法,已知a, b, dR+，求证,分析：,14,放大法,15,证明：,因为a, b, c, dR+，所以,已知a, b, c, dR+，求证,16,所以,把以上四个不等式相加，得,17,放大法,?,注意：放缩时应放缩适度,18,已知a, b 是实数，,求证,法一,法二,19,已知a, b 是实数，,把不等式右边缩小得，,求证,分析：,把不等式
5、左边放大得，,0|a+b|a|+|b|,只要把分式化成仅有一个绝对 值表达式，就容易放缩了。,20,因为0|a+b|a|+|b|，所以,证明：,已知a, b 是实数，,求证,绝对值不等式,21,已知a, b 是实数，,求证,构造函数 ，首先 判断其单调性，设 . , ， 在上是增函数, 取 ， ，显然满足， 即 证毕.,证明：,函数单调性,22,1 放缩法常用的方法是： 根据需要适度舍掉(或引入)某些项 分式结构: 对分子或分母适当放缩; 应用“糖水不等式”：利用基本不等式，绝对值不等式等 常用的不等式。 利用函数的单调性,放缩法,23,证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法以及常用的方 法 （2）反证法：先假设结论的否命题成立， 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结论成立的方法。,课堂小结,
