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1、广东省汕头市2015届高考数学一模试卷(理科) 一、选择题(每小题5分,共40分)1(5分)若i为虚数单位,则i+i2+i3+i4的值为()A1BiC0D12(5分)若全集U=1,2,3,4,5,6,M=1,4,N=2,3,则集合5,6等于()AMNBMNC(UM)(UN)D(UM)(UN)3(5分)若双曲线的标准方程为=1,则它的渐近线方程为()Ax=0Bxy=0Cx2y=0D2xy=04(5分)已知命题p:xR,x2lgx,命题q:xR,ex1,则()A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p(q)是真命题D命题p(q)是假命题5(5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
2、A=,B=,a=3,则c的值为()A3BC3D66(5分)设,为平面,m,n为直线,则m的一个充分条件是()A,=n,mnB=m,C,mDn,n,m7(5分)已知等差数列an的前n项和为Sn,又知(xlnx)=lnx+1,且S10=lnxdx,S20=17,则S30为()A33B46C48D508(5分)气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10
3、.8;则肯定进入夏季的地区有()ABCD二、填空题(每小题5分,共30分)(一)必做题(9-13题)9(5分)二进制110011(2)化成十进制数为10(5分)设向量=(1,2,3),=(1,y,z),且,则y=,z=11(5分)二项展开式(+2x2)5中,含x4项的系数为12(5分)一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x(,3)(1,+),则一元一次不等式ax+b0的解集为13(5分)已知实数x,y满足,若目标函数z=mx+y的最大值为2m+10,最小值为2m2,则实数m的取值范围是(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】14(5分)曲线C:(为参数),
4、若以点O(0,0)为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则该曲线的极坐标方程是【几何证明选讲选做题】15如图,AD是ABC的高,AE是ABC外接圆的直径,若BAE=36,则DAC=三、解答题(本题共6小题,共80分)16(12分)已知函数f(x)=2sin(x+)(1)求f的值;(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(3)设为第四象限的角,且=,求f()的值17(12分)某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分150分),其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:(1)根据以上两个直方图完成下面的22列联表:成绩性别优秀不优秀总计男生女
5、生总计(2)根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?(注:k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001(3)若从成绩在130,140的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率18(14分)已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形(1)求证:BN平面C1B1N;(2)设为直线C1N与平面CNB1所成的角,求sin的值;(3)设M为AB中点,在BC边上求一点P,使MP平面CNB1,求的值19
6、(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P到两个定点F1(,0),F2(,0)的距离的和为定值4(1)求点P运动所成轨迹C的方程;(2)设O为坐标原点,若点A在轨迹C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论20(14分)已知Sn是数列an的前n项和,且满足Sn2=n2an+Sn12(n2,nN+)又已知a1=0,an0,n=2,3,4(1)计算a2,a3,并求数列a2n的通项公式;(2)若bn=()an,Tn为数列bn的前n项和,求证:Tn21(14分)设函数g(x)=x22x+1+mlnx,(mR)()当m=1时,求过点P(0,1)且
7、与曲线y=g(x)(x1)2相切的切线方程()求函数y=g(x)的单调增区间()若函数y=g(x)有两个极值点a,b,且ab,记x表示不大于x的最大整数,试比较sin与cosg(a)g(b)的大小广东省汕头市2015届高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1(5分)若i为虚数单位,则i+i2+i3+i4的值为()A1BiC0D1考点:复数代数形式的混合运算 专题:数系的扩充和复数分析:利用复数的运算法则即可得出解答:解:i+i2+i3+i4=i1i+1=0,故选:C点评:本题考查了复数的运算法则,属于基础题2(5分)若全集U=1,2,3,4,5,6,M=1
8、,4,N=2,3,则集合5,6等于()AMNBMNC(UM)(UN)D(UM)(UN)考点:交、并、补集的混合运算 专题:集合分析:由题意可得5UM,且5UN;6UM,且6UN,从而得出结论解答:解:5M,5N,故5UM,且5UN同理可得,6UM,且6UN,5,6=(UM)(UN),故选:D点评:本题主要考查元素与集合的关系,求集合的补集,两个集合的交集的定义,属于基础题3(5分)若双曲线的标准方程为=1,则它的渐近线方程为()Ax=0Bxy=0Cx2y=0D2xy=0考点:双曲线的简单性质 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:由于双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,求出所求双曲线
9、的a,b,即可得到渐近线方程解答:解:由于双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,而双曲线=1的a=2,b=2,则所求渐近线方程为y=x,即为xy=0故选A点评:本题考查双曲线的方程和性质,主要考查渐近线方程的求法,属于基础题4(5分)已知命题p:xR,x2lgx,命题q:xR,ex1,则()A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p(q)是真命题D命题p(q)是假命题考点:复合命题的真假 专题:简易逻辑分析:利用函数的性质先判定命题p,q的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出解答:解:对于命题p:例如当x=10时,81成立,故命题p是真命题;对于命题q:xR,ex1,当x=0时
10、命题不成立,故命题q是假命题;命题pq是真命题故选:C点评:本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质,属于基础题5(5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=,B=,a=3,则c的值为()A3BC3D6考点:余弦定理;正弦定理 专题:解三角形分析:由A与B的度数求出C的度数,再由sinA,sinC以及a的值,利用正弦定理求出c的值即可解答:解:在ABC中,A=,B=,a=3,即C=,由正弦定理=得:c=3故选:A点评:此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键6(5分)设,为平面,m,n为直线,则m的一个充分条件是()A,=n,mnB=m,
11、C,mDn,n,m考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题:空间位置关系与距离分析:根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确,根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项D正确解答:解:对于选项A:,=n,mn,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m,故不正确;对于选项B:=m,而与可能平行,也可能相交,则m与不一定垂直,故不正确;对于选项C:,m,而与可能平行,也可能相交,则m与不一定垂直,故不正确;对于选项D:因为n,n,所以,又因为m,所以m正确,故选:D点评:本题主要考查空间直线和平
12、面位置关系的判断,根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键7(5分)已知等差数列an的前n项和为Sn,又知(xlnx)=lnx+1,且S10=lnxdx,S20=17,则S30为()A33B46C48D50考点:等差数列的性质;定积分的简单应用 专题:计算题分析:先利用微积分基本定理求定积分的值,得S10=1,再利用等差数列的性质,即S10,S20S10,S30S20为等差数列,即可列方程得所求值解答:解:S10=lnxdx=(xlnxx)=ee(1)=1等差数列中,S10,S20S10,S30S20为等差数列,即1,171,S3017为等差数列,32=1+S3017S30=48故选 C点
13、评:本题主要考查了利用微积分基本定理求定积分的方法,等差数列的定义和性质运用,属基础题8(5分)气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8;则肯定进入夏季的地区有()ABCD考点:极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数 专题:概率与统计分析:根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据,分析数据的可能性进行解答即可得出答案解答:解:甲地:5个数据的中位