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1、第五节 数列的综合应用,1解答数列应用题的步骤 (1)审题仔细阅读材料，认真理解题意 (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么 (3)求解求出该问题的数学解 (4)还原将所求结果还原到原实际问题中,2数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比,银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a（1+rn），
2、属于等差模型.复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a（1+r）n，属于等比模型.,(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系,1有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A6秒钟 B7秒钟 C8秒钟 D9秒钟,【解析】 依题意121222n1100， 100，2n101，n7， 则所求为7秒钟 【答案】 B 2已知函数f(x) ，其对称中心是 ，若
3、an (nN*)，记数列an的前n项和为Sn，则使Sn0的n的最小值为( ) A10 B11 C12 D13,【解析】 由题意可知 是其对称中心， a1a100，a2a90， 即a1a2a100，即S100， 而a11f(11)0，S110. 【答案】 B 3等差数列an中，an0，nN*，有2a3a722a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8等于( ) A2 B4 C8 D16,【解析】 a722a32a112(a3a11)4a7， a70(舍)或a74， b7a74.b6b8b7216. 【答案】 D 4已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)ax2bxc的图象与x轴公
4、共点的个数为_ 【解析】 a、b、c成等比数列，b2ac，且b0. 又b24acb24b23b20， f(x)的图象与x轴没有公共点 【答案】 0,5在数列an中，对任意自然数nN*，a1a2an2n1，则a12a22an2_. 【解析】 a1a2an2n1 当n2时， a1a2an12n11 得an2n1(n2) 又a12111适合上式， an2n1，an222n24n1， a12a22an2 (4n1) 【答案】 (4n1),(2008年天津高考)已知数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0) (1)设bnan1an(nN*)证明bn是等比数列； (2)求数列a
5、n的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项,【思路点拨】 (1)利用等比数列的定义证明； (2)利用bn的通项公式，累加法求an； (3)利用等差中项公式a6a92a3和an3an62an或anan3an6an证明即可 【自主探究】 (1)由题设an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)， 即bnqbn1(n2) 又b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列,(2)由(1)， a2a11， a3a2q， anan1qn2(n2) 将以上各式相加，得ana11qqn2(n2)， 所以
6、当n2时， an ， 上式对n1显然成立,(3)由(2)，当q1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1，由a3a6a9a3可得q5q2q2q8， 由q0得，q311q6 整理得(q3)2q320， 解得q32或q31(舍去)，于是q ， 另一方面， anan3 (q31)， an6an (1q6)， 由可得anan3an6an，nN*，,由可得anan3an6an，nN*， 所以对任意的nN*， an是an3与an6的等差中项 【方法点评】 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点 2利
7、用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解,1已知：f(x)logax(a0且a1)，设f(a1)、f(a2)、f(an)(nN)是首项为4，公差为2的等差数列 (1)若a为常数，求证：an成等比数列； (2)设bnanf(an)，若bn的前n项和是Sn，当a时，求Sn； (3)令Cnanlg an问是否存在a，使得Cn中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由,【解析】 (1)证明：f(an)4(n1)22n2， 即logaan2n2，可得ana2n2. a2，为
8、定值 an为等比数列 (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2. 当a 时，bn(2n2) 2n2(n1)2n2. Sn223324425(n1)2n2， 2Sn224325426n2n2(n1)2n3. 得Sn22324252n2(n1)2n3. 16 (n1)2n3,162n324n2n32n3n2n3. Snn2n3. (3)Cnanlg ana2n2lg a2n2(2n2)a2n2lg a. 要使Cn11时，即n(n1)a2n 对一切n2成立只需2 ， 01.,气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 ，第n天的维修保养费
9、为 元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了多少天？,【自主探究】 由第n天的维修保养费为 元(nN*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为 当且仅当 时，取得最小值，此时n800. 答：一共使用了800天,【方法点评】 1.解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力 2解等
10、差数列应用题的关键是建模，建模的思路是： 从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：,2某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少分析测算得2009年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造220万元，且2009年后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自2009年第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tnanb，且2009年第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问从2009年1月份开始，经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不
11、改革时的累计纯收入 【解析】 改革后经过n个月累计纯收入为(Tn220n)万元,不改革的累计收入为70n ， 由题意可得80n10220n70n3nn(n1)， 即n211n2100，得n10或n21(舍去) nN*，n11. 答：经过11个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入,我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，an是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率
12、，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额,(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式； (2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列 【思路点拨】 (1)中关系式容易列出；(2)中利用Tn与Tn1，Tn1与Tn2的关系以此类推，逐步得Tn的表达式，再利用错位相减法求得Tn，即不难得出An与Bn. 【自主探究】 (1)由题意可得 TnTn1(1r)an(n2) (2)T1a1，对n2反复使用上述关系式，得 TnTn1(
13、1r)an Tn2(1r)2an1(1r)an,a1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an 在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r) ，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an (1r)n1ra1(1r)nan. 即Tn . 如果记An (1r)n，Bn n， 则TnAnBn.其中An是以 (1r)为首项， 以1r(r0)为公比的等比数列； Bn是以 为首项，以 为公差的等差,【方法点评】 1.函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前
14、n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用 . 2与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的 概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题这都与等比数列有关,3某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ？(lg 6572.82，lg 20.30，lg 30.48),【解析】 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1128，q1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7a1q6
