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1、第二节 空间图形的基本关系与公理,1平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2： 的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线,两点,过不在一条直线上,有且只有一条,2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围：(0， ,锐角(或直角),3直线和平面的位置关系,有无数个,有且只有一个,没有,4.两个平面的位置关系,5.平行公理 平行于同一条直线的两
2、条直线 6定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ,互相平行,相等或互补,1分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( ) A异面 B平行 C相交 D以上都有可能,【解析】 如图，ab，c与d相交，a与d异面,【答案】 D,2直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为( ) A1 B3 C6 D0,【解析】 以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个,【答案】 B,3用一个平面去截一个正方体得到的多边形，其中边数最多的是( ) A四边形 B五边形 C六边形 D七边形,【解析】 正方体一共六个面，用一个平面去截，最多是六边形，
3、但能否与每个面都相交，可以用实物演示，以增强其空间想像能力，如图所示,【答案】 C,4三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_,【解析】 当三个平面两两平行时，n4； 当三个平面两个平行，第三个与这两个都相交时，n6； 当三个平面两两相交于同一直线时，n6； 当三个平面两两相交，交线平行时，n7； 当三个平面两两相交，只有一个公共点时，n8.,【答案】 4,6,7,8,5(2008年青岛模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCAA12，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为_,【解析】 取AC的中点E， 连接C1E，BE， 则四边形ADC1
4、E为平行四边形 AB=BC，BEAC， BE平面ACC1A1. 在RtBEC1中，BE= ，BC1= ， sinBC1E= ， BC1E=30，即为所求,【答案】 30,【思路点拨】,【方法点评】 证明点线共面的常用方法 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合,1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：D、B、F、E四点共面,【证明】 (1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线， 所以EFB1D1. 在正方体AC1中，B1
5、D1BD， 所以EFBD. 所以EF，BD确定一个平面， 即D、B、F、E四点共面,【思路点拨】 先证E、F、G、H四点共面，再证EF、GH交于一点，然后证明这一点在AC上,【方法点评】 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上,2如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于M，RQ与DB的延长线交于N，RP与DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线 【证明】 PQCBM， M直线PQ， PQ平面PQR， M平面PQR， 又M直线CB，而CB平面BCD， M平面BCD， 从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点
6、，即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上；同理可证K、N也在l上 M、N、K三点共线,如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由 (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由,【思路点拨】 (1)易证MNAC，AM与CN不异面 (2)由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法,【自主探究】 (1)不是异面直线理由：连接MN、A1C1、AC. M、N分别是A1B1、B1C1的中点， MNA1C1. 又A1A C1C，A1ACC1为平行四边形 A1C1AC，得到MNAC， A、M、N、C在同一平面
7、内，故AM和CN不是异面直线 (2)是异面直线证明如下： ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面，使D1B平面，CC1平面， D1、B、C、C1， 与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾 假设不成立，即D1B与CC1是异面直线,【方法点评】 证明两直线为异面直线的方法： 1定义法(不易操作) 2反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到 3客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点
8、的直线是异面直线，如图,3.如图，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上求证：BD和AC是异面直线,【证明】 假设BD和AC不是异面直线， 则BD和AC共面， 设它们共面于. A、B、C、D， AB、CD， 即a、b. 这与a、b是异面直线矛盾 故假设不成立 BD和AC是异面直线,1(2009年湖南高考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A3 B4 C5 D6,【解析】 根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面， 可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件故选C.,【答案】 C,【答案】 C,3(2009年宁夏
9、、海南高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF ，则下列结论中错误的是( ) AACBE BEF平面ABCD C三棱锥ABEF的体积为定值 DAEF的面积与BEF的面积相等,【解析】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中， ACBD，ACBB1， BDBB1B，AC平面BB1D1D， BE平面BB1D1D， ACBE，A对,【答案】 D,4(2009年安徽高考)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号) 相对棱AB与CD所在的直线异面； 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点； 若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面； 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱,【解析】 先画出草图，根据图形来判断相关结论是否正确,【答案】 ,1有关空间基本性质的问题，常借助现实生活中的实物和正方体这些模型，使抽象的思维形象化，降低思考的难度 2共面、共点、共线问题通过比较分析同类题目的特征及思考方式，达到举一反三的效果 3结合题设条件，灵活地作出异面直线所成的角，是求异面直线所成角的破冰之举，而忽略异面直线所成角的范围，是“会而不全”的具体表现,课时作业 点击进入链接,
