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1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,基础梳理,1. 二元一次不等式(组)所表示的平面区域,(1)二元一次不等式表示平面区域:一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 ,我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成 .,平面区域,不包括,实线,（2）判定方法 由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y) 代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都 ,所以只需在此直线的 某一侧取一个特殊点(x0,y0),
2、从Ax0+By0+C的 即可判断 Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.当C0时,常取 作为 特殊点.,（3）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的 ,因而是各个不等式所表示平面区域的 .,相同,正负号,原点,交集,公共部分,2. 线性规划的有关概念,典例分析,题型一 用二元一次不等式（组）表示平面区域,【例1】画出下列不等式或不等式组表示的平面区域. （1）3x+2y+60; (2),分析 (1)用特殊点，如原点确定不等式表示的平面区域； （2）分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取其公共部分.,解 （1）先画直线3x+2y+6=0（画虚线）,取原点(0,0)代入，得30
3、+20+60, （0,0）在3x+2y+60表示的平面区域内，如图所示. (2)不等式x3表示x=3左侧的点的集合. 不等式2yx表示x-2y=0上及左上方点的集合. 不等式3x+2y6表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合. 不等式3yx+9表示直线3y-x-9=0右下方点的集合. 综上可得,不等式组表示的平面区域如图所示.,学后反思 （1）画不等式Ax+By+C0的平面区域时，其边界直线应为虚线;画不等式Ax+By+C0的平面区域时，其边界直线应为实线. （2）画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”，原点定“域”，即先画出对应的直线，再将原点坐标代入直线方程中，看
4、其值比0大还是比0小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分.,举一反三,解析: 如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.,答案： 5,7),题型二 求平面区域的面积,【例2】如果由约束条件 y0， yx， 所确定的平面区域的面积为S=f(t), y2-x 试求f(t)(0t1)的表达式. txt+1,分析 画出可行域,再求出以t为参数的平面区域的面积.,举一反三 2. (2008浙江改编)若a0,b0,且当 x0, y0, x+y1时, 恒有ax+by1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是 .,学
5、后反思 平面区域的面积问题是线性规划问题中的一类重要题型,在解题时关键是画准平面区域,特别注意参数t的取值范围.然后结合有关的面积公式求解.,解析： 满足 x0, y0, x+y1 的点(x,y)的可行域如图1, 若a0,b0,恒有ax+by1,则1-byax0,1-b0,b1.同理，a1. P(a,b)所形成的平面区域如图2,故所形成平面区域的面积为1. 图1 图2,答案： 1,题型三 线性规划问题,x-y+20, 【例3】已知 x+y-40, 2x-y-50.求： (1)z=x+2y-4的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25的最小值; (3)z= 的范围.,分析 注意观察分析目标函
6、数的结构特征，与解析几何中有关的概念知识进行联系，找出目标函数的几何意义，通过数形结合进行求解.,解 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、 C（7，9）.,(1)易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方, 故x+2y-40,将C(7,9)代入z得最大值为21.,(2)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是|MN|2=92.,(3)z=2 表示可行域内任一点（x,y）与定点Q(-1, )连线的斜率的两倍，因为kQA= ,kQB= , 所以z的取值范围为 , .,
7、学后反思 线性规划求最值问题,要充分理解目标函数的几何意 义.诸如直线的截距,两点间的距离（或平方）,点到直线的距离,过已知直线两点的直线斜率等,举一反三 3. 如果点P在平面区域 2x-y+20, x+y-20, 2y-10上， 点Q在曲线 上，那么|PQ|的最小值为.,答案：,解析： 如图，当P取点(0， )，Q取点（0，-1） 时，|PQ|有最小值为 .,题型四 线性规划的实际应用 【例4】(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7
8、万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个. 问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？,分析 设每天生产甲、乙两种产品各x吨、y吨，由题意得到线性约束条件及目标函数，进而画出可行域及求得最优解.,解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，1,则线性约束条件为 9x+4y300, 4x+5y200, 3x+10y300, x15, y15,4 目标函数为z=7x+12y,.6 作出可行域如图. 10 作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点
9、A（20,24）时，利润最大12 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大， =720+1224=428(万元).14 答：每天生产甲产品20吨，乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.,学后反思 (1)解线性规划应用问题的步骤是:设出未知数；列出约束条件;作出可行域；作平行线，使直线与可行域有交点;求出最优解，并作答. (2)用图解法解答线性规划应用题时应注意:仔细审题,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,探求的目标如何?起关键作用的变量有哪些?由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系. (3
10、)要注意结合实际问题,确定未知数x,y等是否有限制,如本题中有x0,y0. (4)能建立线性规划的实际问题的类型:给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.,举一反三 4. (2009四川改编)某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.,解析： 设该企业
11、生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y,且 x0, y0, 3x+y13, 2x+3y18. 由 3x+y=13, 2x+3y=18,得 x=3, y=4.,答案： 27,由图可知，最优解为P(3,4), =53+34=27(万元).,易错警示,【例】在R上可导的函数 ,当 x(0,1)时取得极大值,当x(1,2)时取得极小值,求点 (a,b)对应的区域的面积以及 的取值范围.,正解 函数f(x)的导数为 ,当x(0,1)时f(x)取得极大值,当x(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程 有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数 的
12、图象与方程 根的分布之间的关系可以得到,易错分析 本题解答易出现如下误区： （1）不能根据条件准确作出可行域或不理解所要解答问题的几何意义; （2）易忽视可行域不包括边界而得出 14,1.,在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),ABD的面积 为 (h为点A到a轴 的距离).点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为 ,显然 (kCA,kCB), 即 14,1,考点演练,10. (2009湖南改编)已知D是不等式组 x-2y0, x+3y0 所确定的平面区域，求圆 在区域D内的弧长.,解析：
13、 如图， , 的斜率分别是 , ，不 等式组表示的平面区域为阴影部分. ,所求弧长为,11. 设实数x,y满足 x-y-20, x+2y-40, 2y-30,求yx的最大值.,解析: 作出不等式组表示的平面区域如图， 表示可行域内 的点(x,y)与原点（0，0）连线的斜率，显然在点A(1, )处 取最大值为,12. 某工厂的一个车间生产某种产品,其成本为每公斤27元,售 价为每公斤50元.在生产产品的同时,每公斤产品产生0.3立方米 的污水,污水有两种排放方式:其一是输送到污水处理厂,经处理 (假设污水处理率为85%)后排入河流;其二是直接排入河流.若污 水处理厂每小时最大处理能力是0.9立方
14、米污水,处理成本是每 立方米污水5元;环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方 米污水17.6元,根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中 的污水是0.225立方米.试问:该车间应该选择怎样的生产与排污 方案,使其净收益最大?,解析 设该车间净收入为每小时z元,生产的产品为每小时x公斤,直接排入河流的污水量为每小时y立方米.每小时车间污水产生量为0.3x;污水处理厂污水处理量为0.3x-y;经污水处理厂处理后的污水排放量为(1-0.85)(0.3x-y);车间产品成本为27x;车间生产收入为50x;车间应交纳排污费用为17.6(1-0.85)(0.3x-y)+y;车间交纳的污水处理费为5(0
15、.3x-y). 这样,车间每小时净收入为: z=50x-27x-5(0.3x-y)-17.6(1-0.85)(0.3x-y)+y=20.708x-9.96y. 由于污水处理厂的最大处理能力为0.3x-y0.9. 根据允许排入河流的最大污水量的限制,有 y+(1-0.85)(0.3x-y)0.2259x+170y45. 输送给污水处理厂的污水量应满足0.3x-y0.,综上所述,这个环保问题可归结为以下的数学模型: 0.3x-y0.9, 9x+170y45, z=20.708x-9.96y,约束条件 0.3x-y0, x0, y0.,画出可行域,如图所示,从图中可以看出,直线z=20.708x-9.96y在直线0.3x-y=0.9和9x+170y=45的交点上达到最大值.求出交点坐标(3.3,0.09),即当x=3.3,y=0.09时，z有最大值,最大值为67.44. 即该车间每小时生产3.3公斤,直接排入河流的污水量为每小时0.09立方米时,净收益最大.,
