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1、中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、中至少有一个偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（ ）A. 假设、都是偶数 B. 假设、都不是偶数C. 假设、至多有一个偶数 D. 假设、至多有两个偶数【答案】B【解析】根据反证法证明的步骤，假设是对原命题结论的否定，因为“至少有一个”的否定是“都不是”，所以假设正确的是：假设都不是偶数，故选A.2.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C
2、【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解： ，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.3.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：由于复数， ，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查
3、除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.通过随机询问名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男女总计爱好不爱好总计由算得参照附表，得到的正确结论（ ）A. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”【答案】A【解析】分析：对照临界值表，由，从而可得结果.详解：根据所给的数据 ，而，有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别
4、有关”，故选A.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.5.已知随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】分析：利用期望与方差的性质与公式求解即可.详解： 随机变量满足，所以 ，解得，故选D.点睛：已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.若随机变量的均值、方差、标准差，则数的均值、方差、标准差.6.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生
5、故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B考点：对立事件与独立事件的概率7.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意可知，利用条件概率公式可求得的值.详解： 设第一个路口遇到红灯的事件为，第二个路口遇到红灯的事件为，则，则，故选C.点睛：本题
6、考查条件概率公式，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.8.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ）A. 0.3 B. C. 4 D. 【答案】D【解析】分析：两边取对数，可化为，结合线性回归方程，即可得出结论.详解：由两边取对数，可得，令，可得，故选D.点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程，其中理解回归方程的求解过程与熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键.9.已知随机变量的概率分布如下表，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由分布列的性质可得： ，故选C.10.若函数在其定义域内
7、的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先确定函数的定义域然后求出导函数，在函数的定义域内解方程，使方程的解在定义域内的一个子区间内，建立不等关系，从而可得结果.详解：定义域为，又，又，得，当时，；当时，因为函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，所以，解得，实数的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查考查计算能力、转化与划归思想的应用，属于基础题.11.若，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，
8、从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得，且，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.12.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（ ）A. 或或 B. 或C. 或 D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，分析可知，当时，函数有
9、极大值也是最大值，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写_【答案】是自然数. 【解析】分析：直
10、接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.详解：由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数，是自然数，是整数”，故答案为是自然数.点睛：本题考查演绎推理的三段论的应用，考查对基本知识的掌握情况.14.，则根据以上四个等式，猜想第个等式是_【答案】.【解析】分析：根据已知的四个等式知；等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是详解：，由上边的式子，我们可以发现：等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是，可猜想， .故答案为.点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知
11、的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15.已知曲线在点处的切线为，则点的坐标为_【答案】.【解析】分析：设切点坐标为，求得，利用且可得结果.详解：设切点坐标为，由得，即，故答案为.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3)
12、巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.16.江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由种藏红花，种南海毒蛇和种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行_此实验【答案】.【解析】分析：先不考虑蛇共有种排法，再减去蛇相邻的情况，即可得出结论详解：先不考虑蛇，先排蛇与毒草有种，再排藏红花有种，共有种，其中蛇相邻的排法共有种，故答案为.点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采
13、取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.以下是某地搜集到的新房源的销售价格（万元）和房屋的面积的数据： 房屋面积销售价格（万元）（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为时的销售价格。，其中，【答案】(1) .(2) 该地房屋面积为时的销售价格为万元.【解析】分析：（1）先求出和的平均数，将数据代入，计算出的值，最后根据，求出的值，即可得到线性回归方程；（2）将代入所求的线性回归方程可估计当房屋面积为时的销售价格.详解：（1）设所求线性回归方程为，则所求线性回归方程为（2）当时，销售价格的估计值为（万元）所以该地房屋面积为时的销售价格为万元点睛：求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.18.已知二项式的展开式的第项为常数项（1）求的值；（2）求的值【答案】(1) .(2)0.【解析】【详解】分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为零，即可求出的值；（2）
