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1、一、方程的根与函数的零点 1对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的 2函数yf(x)的 就是方程f(x)0的 ，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的 即：方程f(x)0有 函数yf(x)的图象与x轴有 函数yf(x)有 ,零点,零点,实数根,横坐标,实数根,零点,交点,3求函数yf(x)的零点 (1)(代数法)求方程f(x)0的 (2)(几何法)结合函数yf(x)的图象，并利用函数的性质找出 4零点存在性定理 函数在区间a，b上的图象是 的，且 ，那么函数f(x)在区间a，b上至少 ,实数根,零点,连续,f(a)f(b)0,有一个零点,5一元二次方程
2、根的分布 设x1、x2 是实系数二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示：,二、用二分法求方程的近似解 对于在区间a，b上连续，且满足 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做 给定 ，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：,f(a)f(b)0,一分为二,逐步逼近零点,二分法,精度,1确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精度. 2求区间(a，b)的 x1. 3计算f(x1)： (1)若f(x1)0，则x1就是函数的零点 (2)若 ，则令 (此时零点x0(
3、a，x1) (3)若 ，则令 (此时零点x0(x1，b) 4判断是否达到精度 即若 ，则得到零点的 ；否则重复步骤24.,中点,f(a)f(x)0,bx1,f(x1)f(b)0,ax1,|ab|,零点值a(或b),1(2010天津，4)函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 解析 f(0)e00210， f(1)e12e10， yex是单调增函数，yx2是增函数， f(x)exx2在R上是增函数， 在(0,1)区间上f(x)存在一个零点故选C. 答案 C,2函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( ) 答案
4、B,3(2010广东六校联考)方程x22xa0在1,1上有解，则a的取值范围是_ 答案 1,3,已知函数f(x)3xx2.问：方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？为什么？ 分析 要判断f(x)在某个区间上是否有解，可先确定f(x)在这个区间上是否有零点,点评与警示 函数零点的存在性常用方法，一是用零点定理，二是解方程，三是用图象；而求函数零点就是求相应方程的实数根；确定零点个数时，要注意重根时的表述,解析 当x0时，由x22x30解得x1或3，则f(x)在(，0上有1个零点；当x0时，由2ln x0解得xe2，则f(x)在(0，)上有1个零点，所以f(x)共有2个零点，故选B. 答案 B
5、,若关于x的方程x22ax2a0有两个不相等的实根，分别满足下列条件，求a的取值范围 (1)方程的两根都大于1； (2)方程一根大于1，另一根小于1.,点评与警示 二次方程根的分布问题，常借助二次函数的图示进行等价转化，先作出二次函数的大致图象，然后列出相应满足条件的不等式组，使问题得到解决,已知一元二次方程2x2(m1)xm0有且仅有一实根在(0,1)内，求m的范围 解 设f(x)2x2(m1)xm 由f(0)f(1)0m0.,(北师大版高中数学必修1改编) 求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点，(精确到0.01) 解 f(1)0 f(x)在区间1,1.5存在零点 用二分法逐次
6、计算列表如下：,|1.32031251.328125|0.0050.01 至此可以看出，函数的零点落在区间长度小于0.01的区间1.3203125,1.328125内，因为该区间的所有值精确到此为0.01都是1.32，因此1.32是函数f(x)x3x1精确到0.01的一个近似零点 点评与警示 用二分法求函数零点近似值的步骤，借助于计算器一步步求解即可，我们可以借助于表格和数轴，清楚地描写逐步缩小零点所在区间的过程，而运算终止的时候就在区间长度小于精确度的时候,求方程lnxx30在(2,3)的近似解(结果精确到0.1) 解 令f(x)lnxx3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点，用二分法逐步
7、计算，列表如下： 由于区间2.187 5,2.25的长度2.252.187 50.062 50.1，所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根,设x0是方程lnxx4的解，则属于区间( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4),解析 转化为函数的零点去考虑，令f(x)lnxx4，在A中，当x0时，f(x)lnxx40，f(x)0有根，故x0属于区间(2,3)；在D中，f(3)ln3341ln30，f(4)ln444ln40，故不能确定是否有根故选C. 答案 C,设函数f(x)xln x3的零点为m，则m所在的区间为 ( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)
8、 解析 由f(3)0，f(2)0.故选B. 答案 B,1函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也是yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以：f(x)0有实根yf(x)与x轴有交点yf(x)有零点 2二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布、存在问题，既可以用判别式、求根公式、韦达定理等代数方法，也可以借助方程对应的二次函数的图象特征列出等价条件组，解题时应选择计算量小的方法,3函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标 4二分法求方程近似解的过程中，蕴涵了算法思想，体现了程序化这一现代数学方法，是信息技术与数学内容有机的整合，注意掌握用程序框图来描述二分法的求解过程以及二分法的思想内涵,
