《2018届高三数学第一轮总复习 9.5 空间向量及其运算课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学第一轮总复习 9.5 空间向量及其运算课件（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第九章,直线、平面、简单几何体,9.5 空间向量及其运算,1. 空间向量：在空间，我们把具有_和_ 的量叫做向量，空间向量也用_表示，并且 _ 的有向线段表示同一向量或相等的向量. 2. 空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法 与数乘向量为： =_， =_, =_(R).,大小,方向,有向线段,方向相同且长度相等,a+b,a,3. 空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律： (1)加法交换律：_； (2)加法结合律：_； (3)数乘分配律：_.,a+b=b+a,(a+b)+c=a +(b+c),(a+b)=a+b,4. 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 _
2、,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作ab. 5. 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使 _.,11,12,相互平行或重合,a=b,推论:如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 _,其中向量a叫做直线l的方向向量. 6. 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y使p= _. 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使 = _.,13,14,15,xa+yb,7. 空间向量基本定理：如果三
3、个向量 a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使p =_. 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使 = _. 8. 已知空间两个向量a，b，则a，b的数量积为：ab= _,其中a,b表示向量a,b的 _，其范围为 _.,16,17,18,19,20,xa+yb+zc,|a|b|cosa,b,夹角,0,9. 空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量) (1)ae= _; (2)ab_; (3)|a|2= _. 10. 空间向量满足如下运算律： (1)(a)b= _； (2)ab= _; (3)a(b+c)
4、= _.,21,22,23,24,25,26,|a|cosa,e,ab=0,aa,(ab),ba,ab+ac,盘点指南：大小；方向；有向线段；方向相同且长度相等；a+b; ;a；a+b=b+a；(a+b)+c= a +(b+c);(a+b)=a+b; 互相平行或重合; a=b; ； xa+yb; ; xa+yb+zc; ； |a|b|cosa，b； 夹角； 0，; |a|cosa，e; ab=0; aa; (ab); ba; ab+ac,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是(
5、) A. a+b，b-a，a B. a+b，b-a，b C. a+b，b-a，c D. a+b+c，a+b，c 解：由已知及向量共面定理，易得a+b，b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C.,C,在平行六面体ABCD-ABCD中，向量 、 、 是( ) A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量 C. 共面向量 D. 不共面向量 解：因为 ，所以 、 、 、 共面.,C,已知四边形ABCD中， =a-2c， =5a +6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则 = . 解：因为 ， 又 ， 两式相加，得,因为E是AC的中点，故 . 同理， . 所以 =6a+6b-10c, 所以
6、 =3a+3b-5c.,1. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 求证： 证明：因为平行六面体的六个面都是平行四边形， 所以 ，,题型1 向量关系的化简与证明,所以 点评：向量的化简与证明实际上就是转化为向量的加减运算及其逆运算，利用向量的合并或分解进行转化，以求得结果.,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列表达式： (1) ； (2) . 解：(1)原式= = = (2)原式=,2. 在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分 所成的比为1:2，N分A1D所成的比为2.设 =a， =b，AA1=c，试用a，b，c表示 . 解：如图，连结AN， 则 . 由已知四边形A
7、BCD是平行四边形， 故 =a+b. 又,题型2 向量的基底表示,由已知N分 所成的比为2，故 于是， 点评：空间向量的基底一般是取共起点的三个不共面的向量，其他向量都可转化为这三个向量的代数和形式.注意向量的方向性及加减运算.,设P是正方形ABCD所在平面外一点，O为正方形ABCD的中心，Q是CD的中点. (1)用基向量 、 、 表示向量 ; (2)用基向量 、 、 表示向量 .,解：(1) (2)因为 ，所以 . 又因为 ，所以 . 从而有 .,已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN. 证法1：因为 所以 所以
8、 故PMQN.,题型3 空间向量的初步应用,证法2： . 所以PMQN. 点评：空间向量是解决立体几何问题的一种工具.本题就是利用向量的垂直关系来证直线的垂直关系，而证空间向量的垂直，一般先将两向量转化为基向量的形式(基底一般是取题中已知条件中出现过的直线上的向量)，然后计算两向量的数量积.,如图，平行六面体AC1中，AE =3EA1，AF=FD，AG= GB，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P， 求APPC1的值. 解：设 因为,所以 又因为E、F、G、P四点共面， 所以 所以 ,所以APPC1=316.,1. 如左下图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1BD的重心，求
9、证：A、M、C1三点共线. 证明：如右上图,连结A1M并延长交BD于E点.,题型 共线问题的判定与证明,因为M为A1BD的重心， 所以E为BD的中点，连结AE. 所以 故向量AM与AC1共线，即A、M、C1三点共线.,2. 求证：平行六面体的四条对角线相交于一点，并且在交点处互相平分. 证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设O、P、M、N 分别是对角线AC1、 BD1、A1C、B1D的中点，,题型 共点问题的判定与证明,则 同理可证， 所以O、P、M、N四点重合. 故四条对角线相交于一点，且在交点处互相平分.,1. 空间向量是平面向量的推广，空间向量的加法、减法和数乘向量运算，与平
10、面向量的运算法则一致. 2. 空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段表示，因此，空间两个向量的加法与减法运算，实质上是两个平面向量的加法与减法运算.,3. 空间共线向量与平面共线向量的概念是相通的，共线向量定理也完全一致.空间共面向量定理是平面向量基本定理的变通.空间向量基本定理是平面向量基本定理的扩展.这些定理源于平面向量的加法、减法与数乘向量运算，是沟通向量之间内在联系的重要依据.,4. 空间直线的向量参数表示式： 是一个以向量形式表示的直线方程，直线l上的点P和实数t之间是一一对应的关系.若取a= ，则向量式 表示P、A、B三点共线. 5. 向量的基底表示是向量运算的一个重点.利用三角形法则和平行四边形法则，将一个向量分解成两个向量的和或差，经过若干次分解，就能得出向量的基底表示.,
