《江苏省2015届高三数学上学期期中试题(含解析)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省2015届高三数学上学期期中试题(含解析)(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省南通中学2015届高三数学上学期期中试题(含解析)本试卷是高三试卷,以基础知识和基本技能为为主导,在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力,知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份好试卷.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上【题文】1已知全集,集合则 【知识点】集合及其运算A1【答案】2,3【解析】则2,3【思路点拨】先求出补集再求结果。【题文】2命题:“”的否定是 【知识点】命题
2、及其关系A2【答案】【解析】“”的否定是。【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。【题文】3若复数z1=ai,z2=1+i(i为虚数单位),且z1z2为纯虚数,则实数a的值为 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】-1【解析】=(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数 所以 a+1 = 0 a = -1【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出a.【题文】4已知角终边经过点,则 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案】-cos2【解析】r=2由任意三角函数的定义:sin=-cos2【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。【题文】5“”是“对恒成立”的 条件(填“
3、充分不必要、必要不充分、充要”)【知识点】充分条件、必要条件A2【答案】充分不必要【解析】能推出在成立,a1 也可能成立。【思路点拨】根据推出关系判断条件。【题文】6已知为等比数列,则 【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】-7【解析】a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4当a4=4,a7=-2时,a1=-8,a10=1,a1+a10=-7当a4=-2,a7=4时,q3=-2,则a10=-8,a1=1a1+a10=-7综上可得,a1+a10=-7【思路点拨】由a4+a7=2,及a5a6=a4a7=-8可求a4,a7,进
4、而可求公比q,代入等比数列的通项,求a1,a10,即可【题文】7已知函数,则的极大值为 .【知识点】导数的应用B12【答案】2ln2-2【解析】f(x)=2f(1)/x-1 令x=1得: f(1)=2f(1)-1 f(1)=1 所以:f(x)=2lnx-x,f(x)=2/x-1 f(x)=2/x-1的零点x=2 所以:0x0,f(x)是增函数 x2时,f(x)0,f(x)是减函数 所以:x=2是f(x)的极大值点 极大值f(2)=2ln2-2【思路点拨】利用求导数,根据单调性求出极大值。【题文】8已知的一个内角为,并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为_【知识点】解三角形C8【答案】15
5、【解析】设三角形的三边分别为x-4,x,x+4,则cos120= ,化简得:x-16=4-x,解得x=10,所以三角形的三边分别为:6,10,14则ABC的面积S=610sin120=15【思路点拨】先设出边,再根据余弦定理求出边求出面积。【题文】9已知向量中任意两个都不共线,且与共线, 与共线,则向量= 【知识点】单元综合F4【答案】【解析】因为()/ ,()/,设=,= 两式相减得-=-,移项得(1+)=(1+) 因为向量、中不平行,所以只有1+=0,1+=0 即=-1,=-1 也就是+=- 即=【思路点拨】先根据向量共线关系找出向量的关系求出结果。【题文】10设函数(),将的图像向右平移
6、个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于 【知识点】函数的图象与性质C4【答案】6【解析】由题意得.k,解得=6k, 则最小值等于6【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将的图像向右平移单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了是此函数周期的整数倍。【题文】11设f(x)是定义在上的奇函数,且在区间上单调递增,若,三角形的内角A满足f(cosA)0,则A的取值范围是 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】【解析】f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,且在区间(0,+)上单调递增,f(x)在区间(-,0)上也单调递增,当A为锐角时,cosA0,不等式f(cosA)0变
7、形为f(cosA)f(),0cosA,A当A为直角时,cosA=0,而奇函数满足f(0)=0,A为直角不成立当A为钝角时,cosA0,不等式f(cosA)0变形为f(cosA)f(-)cosA-,A,综上,A的取值范围为【思路点拨】根据函数在R上的奇偶性和在区间(0,+)上的单调性可以判断f(x)在区间(-,0)的单调性再分角A是锐角,直角还是钝角三种情况讨论,cosA的正负,利用f(x)的单调性解不等式【题文】12如图,在等腰三角形中,已知分别是边上的点,且其中若的中点分别为且则的最小值是 【知识点】单元综合F4【答案】【解析】连接AM、AN,等腰三角形ABC中,AB=AC=1,A=120,
8、=|cos120=-AM是AEF的中线,=()=(m+n)同理,可得=(),由此可得 =(1-m)+(1-n)将此式平方得2=(1-m)2-(1-m)(1-n)+(1-n)2,结合m+4n=1消去m,得2=n2-n+当n=时,2的最小值为 ,所以|的最小值为【思路点拨】由等腰ABC中,AB=AC=1且A=120,算出=-连接AM、AN,利用三角形中线的性质,得到=()且=(),进而得到 =(1-m)+(1-n)将此式平方,代入题中数据化简可得2=(1-m)2-(1-m)(1-n)+(1-n)2,结合m+4n=1消去m,得2=n2-n+ ,结合二次函数的性质可得当n=时, 2的最小值为 ,所以|
9、的最小值为【题文】13等差数列的公差为d,关于x的不等式c0的解集0,22,则使数列的前n项和最大的正整数n的值是 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】11【解析】关于x的不等式x2+(a1-)x+c0的解集为0,22,22= ,且0即a1=-d0,则a11=a1+10d0,a12=a1+11d0故使数列an的前n项和Sn最大的正整数n的值是11【思路点拨】根据已知中等差数列an的公差为d,关于x的不等式x2+(a1-)x+c0的解集为0,22,我们根据不等式解析的形式及韦达定理,易判断出数列的首项为正,公差为负,及首项与公差之间的比例关系,进而判断出数列项的符号变化分界点,即可得
10、到答案【题文】14已知数列满足(q为常数),若18,6,2,6,30,则 【知识点】单元综合D5【答案】-2,126,-3【解析】由已知可得,an+1+2=q(an+2),n=1,2,当an=-2时,显然有a3,a4,a5,a6-18,-6,-2,6,30,此时a1=-2当an-2时,则,(q为常数),又因为a3,a4,a5,a6-18,-6,-2,6,30,所以a3+2,a4+2,a5+2,a6+2-16,-4,0,8,32,因为an-2,所以an+20,从而a3+2=32,a4+2=-16,a5+2=8,a6+2=-4,或a3+2=-4,a4+2=8,a5+2=-16,a6+2=32故有q
11、=-2或q=-代入an+1=qan+2q-2得a1=-3,或a1=126【思路点拨】观察已知式子,移项变形为an+1+2=q(an+2),从而得到an+2与an+1+2的关系,分an=-2和an-2讨论,当an-2时构造等比数列an+2,公比为q计算可得答案二、解答题:本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】15(本题满分14分)已知 实数满足, 其中; 实数满足2x3(1) 若 且为真, 求实数的取值范围;(2) 若是的必要不充分条件, 求实数的取值范围. 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案】(1)(2) 【解析】
12、(1)p:由原不等式得,(x-3a)(x-a)0,a0为,所以ax3a;当a=1时,得到1x3;q:实数x满足2x3;若pq为真,则p真且q真,所以实数的取值范围是. (2) p是q的必要不充分条件,即qp,且pq, 设A=, B =, 则AB, 又,A=;所以有解得所以实数的取值范围是. 【思路点拨】(1)先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围:ax3a,a=1时,所以p:1x3根据pq为真得p,q都真,所以解该不等式组即得x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,解不等式即得a的取值范围【题文】16(本题满分14分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1AAC,D,E,F分别
13、为线段AC,A1A,C1B的中点(1)证明:EF平面ABC;(2)证明:C1E平面BDE ABCDEC1A1B1F(第16题)【知识点】 空间中的平行关系垂直关系G4 G5【答案】(1)略(2)略【解析】(1)如图,取BC的中点G,连结AG,FG因为F为C1B的中点,所以FGC1C在三棱柱ABCA1B1C1中,A1AC1C,且E为A1A的中点,所以FGEA所以四边形AEFG是平行四边形 所以EFAG因为EF平面ABC,AG平面ABC,所以EF平面ABC (2)因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A平面ABC,BD平面ABC,所以A1ABD 因为D为AC的中点,BABC,所以BDAC因为A1
14、AACA,A1A平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,所以BD平面A1ACC1因为C1E平面A1ACC1,所以BDC1E 根据题意,可得EBC1EAB,C1BAB,所以EBC1EC1B2从而C1EB90,即C1EEB 因为BDEBB,BD 平面BDE, EB平面BDE,所以C1E平面BDE 【思路点拨】根据线线垂直证明线面垂直,根据线面平行判定证明平行。 【题文】17(本题满分15分)已知向量.(1)若,且,求的值;(2)定义函数,求函数的单调递减区间;并求当 时,函数的值域.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】(1)(2)【解析】(1)因为,所以,因为,所以,即,所以(2), 令,得,所以函数的单调递减区间是