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1、亭湖高级中学2015届数学(文)学情检测一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.While End WhilePrint 1.若集合,且,则实数的值为 2.若实数满足,其中是虚数单位,则 3.某单位有职工52人,现将所有职工按l、2、3、52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号、32号、45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是 4.根据右图的伪代码,输出的结果为 5.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率的值为 6. 在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一
2、个红球的概率是 7. 已知一个正六棱锥的高为10cm,底面边长为6cm,则这个正六棱锥的体积为 cm3 8.已知向量,的夹角为,且,则 9.给出下列命题:(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,所有真命题的序号为 10.已知等比数列的前项和为,若,则的值是 11.在平面直角坐标系中,设过原点的直线与圆C:交于M、N两点,若MN,则直线的斜率k的
3、取值范围是_ 12.已知,若,且,则的最大值为 13.关于的二次不等式的解集为,且,则的最小值为 14.函数在1,2上最大值为4,则实数 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定的区域内作答,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在中,角,的对边分别是,且,成等差数列(1)若,求的值;(2)求的取值范围PABCDE(第16题图)16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,E为PD的中点求证:(1)PB平面AEC;(2)平面PCD平面PAD17. (本小题满分14分)某公司为一家制冷设备厂设计生产
4、一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示,为长方形薄板,沿AC折叠后,交DC于点P当ADP的面积最大时最节能;而凹多边形的面积最大时制冷效果最好(1)设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;ABCD(第17题)P(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?18. (本小题满分16分) 如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M。求椭圆T与圆O的方程;过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合)。若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;若,求与的
5、方程。19. (本小题满分16分)已知数列的前项和为,前项积为,且满足,(1)求的值;(2)求证:为等比数列;(3)是否存在常数,使得对任意的都成立?如果存在,求出的值;如果不存在,试说明理由。20. (本小题满分16分)已知函数,.如果函数没有极值点,且存在零点。(1)求的值;(2)判断方程根的个数,并说明理由;(3)设点是函数图象上的两点,平行于AB的切线以为切点,求证:。亭湖高级中学2015届数学(文)学情检测答案1. 4;2. 2;3. 19;4. 100;5.;6. ;7. ;8. ;9. 、;10. 11. ;12.2;13.;14.215. 解:(1) 成等差数列, 2分 3分即
6、 4分 5分,即 6分,所以 7分(2) 8分 10分 12分的取值范围是 14分16.(1)证明:连结交于点,连结因为为中点,为中点,所以,4分因为平面,平面, 所以平面7分(2)证明:因为平面,平面,所以9分 因为在正方形中且,所以平面 12分又因为平面,所以平面平面14分17. 解:(1)由题意,因,故 2分设,则因,故由 ,得 ,5分(2)记的面积为,则 6分,当且仅当(1,2)时,S1取得最大值8分故当薄板长为米,宽为米时,节能效果最好 9分(3)记的面积为,则,10分于是,11分关于的函数在上递增,在上递减所以当时,取得最大值 13分故当薄板长为米,宽为米时,制冷效果最好 14分1
7、8. 解: (1)由题意知: 解得可知:椭圆的方程为与圆的方程4分(2)设因为,则因为所以,7分因为 所以当时取得最大值为,此时点9分(3)设的方程为,由解得;由解得11分把中的置换成可得,12分所以,由得解得15分所以的方程为,的方程为或的方程为,的方程为16分19. 解:(1) 4分(2)时,又也适合, ,可得,所以为等比数列9分(3) 为等比数列, 假设存在满足条件的,使得对任意的都成立而设,则关于恒成立可得,所以存在常数=,使得对任意的都成立16分另:也可特殊化20. 解:(1)由题意,无极值,存在零点的即 或 所以4分(2)方程可变形为。在同一坐标系中作出函数和函数的图象,如右图,观察图象,有两个交点,所以有两个不相等的实数根。8分法(2)由 下证(*),设,则。从而(*)。令,则,所以在为增函数,又,所以,当时,即,从而得到证明。对于同理可证。所以16分