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1、江苏省丹阳高级中学江苏省丹阳高级中学 20142014 届高三数学第三次模拟考试试卷届高三数学第三次模拟考试试卷 一一、 填空题填空题(共共1 14 4 小小题题,每每小小题题5 5 分分,共共计计7 70 0 分分请请把把答答案案填填写写在在 答答题题卡卡相相应应位位置置上上 ) 1已知集合,则 1,2,31,2,2,3ABAB 2已知i是虚数单位,复数z满足1)31 (iz,则 | z_ 2 1 3的值为 -2 12 coslog 12 sinlog 22 4一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10, 则该组数据的方差为 0.02 5执行如图所示的程序框图,输出
2、的 S 值为时,4 则输入的的值为 10 0 S 6已知单位向量, i j 满足(2)jii ,则, i j 的夹角为 3 7已知点( , )P a b与点(1,0)Q在直线的两侧,2310xy 且,则的取值范围是 0, 0ab 1a b ) 0 , 3 1 ( 8设是等比数列的前项和,若,则 n S n an, 132 21 aa 43 3aa 1 nn aS2 9已知,是空间中两条不同的直线,是空间中三个不mn 同的平面, 则下列命题正确的序号是 若,则; 若,则;/ /mnmn/ /mn/ /m/ /n 若,则; 若,则/ /m/ /m/ / / 10设为图象上任意一点, 为在点处的切线
3、,则坐标原点到 距离P2 4 1 2 xyClCPOl 的最小值为 2 11将一枚骰子抛掷两次,记先后出现的点数分别为,cb, 则方程有实根的概率为 0 2 cbxx 36 19 12A:(x3)2+(y5)2=1,B:(x2)2+(y6)2=1,P 是平面内一动点,过 P 作 A、B 的切线,切点分别为 D、E,若的最小值为 |),0 , 0(|,|POOPEPD则 2 2 3 13若关于 x 的不等式(组)任意 nN*恒成立 9 2 ) 12( 2 3 1 0 2 2 n n xx 则所有这样的解 x 的集合是 3 2 , 3 1 14在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,D 在线段 AC
4、 上,AD=AC(为常数,且) ,kk10 k 为定长,则ABC 的面积最大值为 lBD )1 (2 2 2 k l 16 (本题满分 14 分) 已知函数(Rx , 0,是实常数)的图像上的一个mxxxfcossin3)(m 最高点 1 , 6 ,与该最高点最近的一个最低点是 3, 3 2 , (1)求函数 xf的解析式及其单调增区间; (2)在锐角三角形ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为cba,,且acBCAB 2 1 , 试求函数的取值范围.)(Af 17 (本题满分 14 分) 某公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1000 万元的投资收益,现准备 制定一个
5、对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的 增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过收益的 20%。 (1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数模型)(xfy )(xf 的基本要求,并分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因。2 150 x y (2)该公司是否可以用函数作为奖励模型函数,如果可以,试确定最小的正 2 310 x ax y 整数的值,如果不可以,请说明理由。a 又对于任意的恒成立,知得0)(xf1000,10x03100 a 3 100 a 故该公司不可以用函数作为奖励模型函数。 2 310 x ax
6、y 18 (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系xoy中,已知 12 ,F F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab 的左、右焦点, 椭圆G与抛物线 2 4yx 有一个公共的焦点,且过点 6 (,1) 2 . (1)求椭圆G的方程; (2) 设点P是椭圆G在第一象限上的任一点,连接 12 ,PF PF,过P点作斜率为k的直线l, 使得l与椭圆G有且只有一个公共点,设直线 12 ,PF PF的斜率分别为 1 k, 2 k,试证明 12 11 kkkk 为定值,并求出这个定值; (3)在第(2)问的条件下,作 22 F QF P,设 2 F Q交l于点Q, 证明:当点P在椭圆上移
7、动时,点Q在某定直线上. 解:(1)解(1)由题意得1c ,又 22 31 1 2ab +-2 分 消去b可得, 42 2730aa,解得 2 3a 或 2 1 2 a (舍去) , 则 2 2b ,椭圆G的方程为 22 :1 32 xy C- -4 分 -3 分 -6 分 -8 分 -10 分 -12 分 -14 分 x y O F1F2 P Q l (2)设直线l的方程为,点mkxy),( 00 yxP 由0636)23( 0632 222 22 mkmxxk mkxy yx - 22 320km -6 分 ,当时,直线和椭圆相交,0 3 23 3 2 0 m k k km x0k0m 0
8、, 0mk 2 0 22 3 6 32 x mkm 由 - 0 0 0 2 02 0 2 0 2 0 3 22 3 )3(2 1 23y x k y m x y yx 得 -9 分 1 , 1 , 1 23 , 2 3 2 0 0 2 0 0 1 00 00 0 x y k x y k yyxx yy xx y而整理得 代入得 12 11 kkkk 定值 - 3) 11 ( 2 3 0 0 0 0 0 0 y x y x x y -12 分 用导数求解也可,若直接用切线斜率公式扣 3 分 (3)的斜率为,又 2 PF1 0 0 x y kPF 0 0 22 1 y x KQFPF FQ 从而直
9、线的方程为:,联立方程 2 PF ) 1( 1 0 0 x y x y 1 23 ) 1( 1 00 0 0 yyxx x y x y 消去得方程,得点在直线上- y0)3)(3( 0 xxQ 3x -16 分 19 (本题满分 16 分) 数列 n a的首项为a(0a) ,前n项和为 n S,且aStS nn 1 (0t) 设 1 nn Sb, nn bbbkc 21 ( Rk) (1)求数列的通项公式 n a (2)当时,若对任意,恒成立,试求a的取值范围1t Nn| 3 bbn (3)当时,试求三个正数a,t,k的一组值,使得 n c为等比数列,1t 且, t, k成等差数列a 解:(1
10、) aStS nn 1 ,时 2n atSS nn 1 两式相减得() ,又由得 nn taa 12n atSS 1212 taa 所以是首项为,公比为 的等比数列,所以 - n a at 1 . n n taa -4 分 20 (本小题满分 16 分) 已知函数,( )ln()f xaxxc xc0a 0c (1)当,时,求函数的单调区间; 3 4 a 1 4 c ( )f x (2)当时,若对恒成立,求实数的取值范围;1 2 a c 1 ( ) 4 f x ( ,)xca (3)设函数的图象在点、两处的切线分别为、( )f x 11 (,()P xf x 22 (,()Q xf x 1 l
11、 2 l 若,且,求实数的最小值 1 2 a x 2 xc 12 llc 解:函数,求导得 2 2 ln() , ( ) ln() , axxcxc f x axxcxc 2 2 22 , ( ) 22 , xcxa xc x fx xcxa xc x (3)由知,而,则, 12 ll()( )1 2 a ffc ( ) a fc c () 2 ac f a 若,则,所以, 2 a c 2()2 22 ()2 2 2 aa ca a fc a 2 c c a 解得,不符合题意; - 1 2 a -11 分 故,则, 2 a c 2()2 22 ()82 2 2 aa ca ac fac aa
12、整理得,由得, - 8 21 aa c a 0c 1 2 a -13 分 令,则,所以,8at 2 8 t a 2t 2 3 22 8 28 1 4 t t t c tt 设,则, 3 2 ( ) 28 t g t t 22 22 2 (12) ( ) (28) tt g t t 当时,在上单调减;22 3t ( )0g t ( )g t(2,2 3) 当时,在上单调增2 3t ( )0g t ( )g t(2 3,) 所以,函数的最小值为,故实数的最小值为 -( )g t 3 3 (2 3) 2 gc 3 3 2 -16 分 第第卷卷( (附加题附加题) ) B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换 (1)求矩阵M逆矩阵; (2)求矩阵M的特征值及相应的特征向量 解:(1)由条件得矩阵 20 03 M - -3 分 它的特征值为2和3,对应的特征向量为 1 0 及 0 1 - -6 分 (2) 1 1 0 2 1 0 3 M - 10 分 C选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 C 的参数方程为,(为参数,).以xOy 2 cos 2 2 sin 2 xr y