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1、内蒙古包头市三十三中2013-2014学年高二数学下学期期中试题理（含解析）第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1已知函数，则（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，故选A.考点：函数求导.2由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面()A各正三角形内一点 B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心 D各正三角形外的某点【答案】C【解析】试题分析：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选C考点：类比推理.3设（其中e为自然对数的底数），则的值为( )
2、A B C D【答案】C【解析】试题分析：.考点：定积分.4曲线上的点到直线的最短距离是( )A B C D0【答案】B【解析】试题分析：曲线y=ln（2x-1），y=，分析知直线2x-y+8=0与曲线y=ln（2x-1）相切的点到直线2x-y+8=0的距离最短，y=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x-1），y=0，点（1，0）到直线2x-y+8=0的距离最短，d=，故答案为B.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离.5若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：f（x）=x3+ax-2，f（x）=3x2+a，函数f（x
3、）=x3+ax-2在区间1，+）内是增函数，f（1）=3+a0，a-3故选B.考点：利用导数研究函数的单调性.6函数yf（x）在定义域（，3）内的图像如图所示记yf（x）的导函数为yf（x），则不等式f（x）0的解集为（ ）A，12，3） B1，C，1，2）D（， ，3） 【答案】A【解析】试题分析：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，12，3)，故选A.考点：利用导数研究函数的单调性.7 设,函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标是（ ） A B C. D【答案】C【解析】试题分析：由题意可得，f(x)ex是奇函数f（0）=1-a=0a=1，f（x）=ex
4、+，f(x)ex曲线y=f（x）在（x，y）的一条切线的斜率是，即ex解方程可得ex=2x=ln2故选D.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.8设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的乘积的值为（ ）A B C D 1【答案】B【解析】试题分析：对y=xn+1（nN*）求导得y=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y-1=k（xn-1）=（n+1）（xn-1），不妨设y=0，xn则x1x2x3xn=，故选B.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率.9曲线：在点处的切线恰好经过坐标原点，则曲线直线，轴围成的图形
5、面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：设A（a，ea），则y=ex，y=ex，曲线C：y=ex在点A处的切线l的方程为y-ea=ea（x-a）将（0，0）代入，可得0-ea=ea（0-a），a=1A（1，e），切线方程为y=ex曲线C、直线l、y轴围成的图形面积为故选D.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.10已知，是的导函数，即，则 ( ) A B C D 【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，可知的解析式周期为4，因为2011=，所以故选A.考点：函数的求导公式.11下面四个判断中，正确的是() A式子1kk2kn(nN*)中，当n1时式子值为1B式子1kk2kn1(n
6、N*)中，当n1时式子值为1kC式子1 (nN*)中，当n1时式子值为1D设f(x) (nN*)，则f(k1)f(k)【答案】C【解析】试题分析：对于A，f（1）恒为1，正确；对于B，f（1）恒为1，错误；对于C，f（1）恒为1，错误；对于D，f（k+1）=f（k）+-，错误；故选A.考点：数学归纳法.12已知集合A3m2n|mn且m，nN，若将集合A中的数按从小到大排成数列an，则有a131203，a232209，a3322111，a43327，依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为()A247 B735C733 D731【答案】C【解析】试题分析：该三角形数阵中，
7、每一行所排的数成等差数列，首项为1，公差为1，因此前5行已经排了5=15个数，第六行第三个数是数列中的第18项，a1=31+20=3，a2=32+20=9，a3=32+21=11，a4=33=27，a18=36+22=733，故选C.考点：进行简单的合情推理.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）13函数在处的切线方程_【答案】【解析】试题分析：当x=4时，f（4）=2，由于，所以，所以切线方程为y-2=（x-4），即. 考点：利用导数研究切线.14若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_【答案】a0【解析】试题分析：f
8、（x）=3ax2+（x0）曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，f（x）=3ax2+=0有正解即a=有正解，0a0，故答案为（-，0）.考点：利用导函数研究曲线上的切线.15已知为一次函数，且，则=_.【答案】【解析】试题分析：设，因为，即，所以，考点：本题主要考查定积分的计算，待定系数法。16下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第个图有个树枝，则与之间的关系是【答案】【解析】试题分析：由题意，图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，an+1-an=n2+1故答案为：an+1-an=n2+1.考点
9、：进行简单的演绎推理；数列递推式.评卷人得分三、解答题（题型注释）17已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线 平行于直线4xy1=0，且点 P0 在第三象限,求P0的坐标;若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.【答案】(1) (1,4);(2) 即.【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x-y-1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；（2）根据两直线垂直，斜率乘积为
10、-1，可求出直线l的斜率为，再根据点斜式，即可求出答案.试题解析：解:由y=x3+x2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=1.当x=1时，y=0;当x=1时，y=4.又点P0在第三象限,切点P0的坐标为 (1,4) .5分直线,的斜率为4,直线l的斜率为,l过切点P0,点P0的坐标为 (1,4)直线l的方程为即 10分考点：1.导数在切线中的应用；2.直线的方程.18某厂生产产品x件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？【答案】25【解析】试题分析：利用100件产品单价50万求出常量k，确
11、定出p关于x的解析式，利润=单价-成本总利润l（x）=p-c求出l的导数，令导数=0时，函数有最值求出可得.试题解析：解：由题意知有：502，解得：k=25104，P=；总利润L（x）=x-1200-x3=500-1200-x3，L（x）=250-x2；令L（x）=0则有：x=25（件）当x=25件时，总利润最大考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.根据实际问题选择函数类型.19由下列不等式：，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明【答案】详见解析【解析】试题分析：根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可.试题解析：解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不
12、等式为： 5分用数学归纳法证明如下：（1）当时，猜想成立； 6分（2）假设当时，猜想成立，即， 7分则当时，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立 .12分考点：数学归纳法；归纳推理.20已知函数,函数当时,求函数的表达式;若,函数在上的最小值是2 ,求的值;【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）分情况讨论x的取值化简绝对值，求出f（x）得到x0和x0导函数相等，代入到g（x）中得到即可；（2）根据基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a.试题解析：解:,当时,; 当时,当时,; 当时,.当时,函数 .6分由知当时,当时, 当且仅当时取等号 8分函数在上的最小值是,依题意得 ; 12分考点：1.函数的最值及其几何意义；2.导数的运算.21设，（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有【答案】(1) 在内是减函数，在内是增函数, 在处取得极小值 ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）先根据求导法求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，求出单调区间及极值即可（2）欲证xln2x-2alnx+1，即证x-1-ln2x+2alnx0，也就是要证f（x）f（1），根据第一问的单调性即可证得.试题解析：解（1）解：根据求导法则有，故，
