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1、第四节 数列求和,1公式法 对于等差数列和等比数列，在求和时可直接套用它们的前n项和公式： 等差数列前n项和公式：,等比数列前n项和公式：Sn 另外，还有一些常见常用的求和公式： 123n ， 135(2n1) ， 122232n2,n2,2倒序相加法 一个数列如果 相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法如等差数列前n项和公式的推导 3错位相减法 如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积，各项的第一个因子成公差为d的等差数列，第二个因子成公比为q的等比数列，可将此数列前n项的和乘以 ，然后错位相减从而求出Sn.,距首末两项等距离的两项和,公比q,4拆项分组法 把不能直接求和的数列分解成
2、的数列，分别求和 5裂项相消法 把数列的每一项变为 ，以便大部分项能“正”、“负”相消，只剩下有限的几项裂项时可直接从通项入手，并且要判断清楚消项后余下哪些项，常用裂项公式为：,几个可以求和,两数之差,6并项转化法 有时候把两项并成一项考虑，这可以实现我们的转化目的通常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况,解析：an2n1，a1a2 an 答案：D,2数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于 ( ) A200 B200 C400 D400 解析：S100(15)(913)4(n1)3(4n3)50(4)200. 答案：B,3若数列an的通项公式为an ，
3、则前n项和为 ( ),答案：B,4122334n(n1)_. 解析：数列an的通项为ann(n1)n2n. 数列an的前n项和Sn(123n)(122232n2),转化为等差(比)数列求和 例1 已知等差数列an中，它的前n项和为Sn，如果Sn 2(nN*)，bn(1)nSn，求数列bn的前n项和Tn. 分析 求出数列bn的通项bn是解题的关键,d2或d2. 经检验d2不合题意，应舍去 故an2n1，Snn2，bn(1)nn2. (1)当n为偶数时， Tn12223242(1)nn2 (2212)(4232)n2(n1)2,整理得(anan1)(anan12)0. a11而Sn0故d0，an0
4、， anan120，anan12，公差d2. an2n1，Snn2，下面同解法1.,拓展提升 本题中已知数列an为等差数列，故可以用解法一，通过求a1，a2，进而求公差d，而解法二是借助an与Sn的关系式去求公差d，所以对此类问题既要抓住已知条件，运用“特值”的思想，又要联系一般规律(an与Sn的关系)去解决,已知数列an通项an 求其前n项和Sn. 解：当n为奇数时， 奇数项组成以a11为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a24为首项，公比为4的等比数列,分组求和法 例2 求下面数列的前n项和：,求和：(1)Sn111111,错位相减法求和 例3 设数列an满足a13a232a33n1
5、an ，aN*. (1)求数列an的通项； (2)设bn ，求数列bn的前n项和Sn.,拓展提升 错位相减法这种方法主要用于anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列，是高考试题中常见题型,设an为等比数列，a11，a23. (1)求最小的自然数n，使an2007； 解：(1)由已知条件得an1( )n13n1. 因为36200737，所以，使an2007成立的最小自然数n8.,裂项法求和 例4 等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11，且b2S264，ban是公比为64的等比数列 (1)求an与bn；,拓展提升 如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)形式，常采用裂项求和的方法特别地，当数列形如 ，其中an是等差数列，可尝试采用此法,1直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程 2注意观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和 3求一般数列的前n项和，无通法可循，我们要掌握某些特殊数列前n项和的求法，触类旁通 4利用等比数列的求和公式时，一定要分q1和q1两种情况讨论,
