初中数学九年级上册,1.5 中位线（1）,学习目标：,,1、能识别三角形的中位线; 能证明三角形中位线定理; 2、能用三角形中位线定理解决其它相关问题; 3、在自主探索与合作交流中, 经过猜想、验证过程, 进一步发展推理论证能力.,回顾与展望,1、如图,点O为ABCD对角线的交点, 过O的直线EF与边AD、BC分别相交于E、F, 图中全等三角形最多有__________对.,2.已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的点， 且AE=CF. (1) BE与DF有什么关系? (2) 证明你的结论.,3. 已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件： ①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC. （1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是 平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤ . （2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的， 请选取一种情形举出反例说明,一、三角形中位线的概念：,(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;,(2)对于△ABC来说, 中线CD是由怎样的两点连接而成的?,(3)若E为△ABC周边 (折线BA-AC-CB) 上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时, 线段DE称为△ABC的中位线,(4) 三角形中位线与中线有什么区别?,(5) 当E在△ABC周边上运动时,还有哪些位置使线段DE成为三角形ABC的中位线?,探究与成果,识图练习：,(1) 如图, △ABC中,D、E、F三等分AB,G、H、K三等分AC , 则△ABC 的中位线是_______________; DG是△__________的中位线.,(2)读句画图并填空 △ABC的中线BD、CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点 则FG是△__________的中位线; DE是△__________的中位线.,探究与成果,二、三角形中位线定理,已知;如图, △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点, (1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系? (2)证明你的猜想.,思路：转化方向——平行四边形．,,,,F,如何将三角形纸片剪拼成平行四边形呢？,证明：延长DE到F，使EF=DE，连接CF．,请同学完成下面的证明,还有其他的转化方法吗？请你来尝试,定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．,例1 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，DC的中点． 求证：EF∥BC，EF= 1/2（BC+AD）．,,,G,思路一：将梯形转化为三角形，利用三角形中位线定理进行证明．,证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G． ∵AD∥BC， ∴∠D =∠FCG． 在△ADF和△GCF中， ∠D=∠FCG ， DF=CF ， ∠AFD=∠GFC， ∴△ADF≌△GCF（ASA）． ∴AF=GF，AD=GC(全等三角形对应边相等)． 又∵AE=EB， ∴EF是△ABG的中位线． ∴EF∥BC，EF =1/2 BG = 1/2(BC+CG ) (三角形中位线定理)． ∵AD=GC， ∴EF= 1/2(AD+BC)．,思路二：将梯形转化为平行四边形，利用平行四边形的性质定理进行证明．,,,M,N,证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M，交BC于点N． ∵AD∥BC， ∴四边形AMNB是平行 四边形，且∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN． 在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN ， DF=CF ， ∠DFM=∠CFN ， ∴△DFM≌△CFN(ASA)． ∴DM=CN，MF=FN=1/2 MN． 又∵AE=EB=1/2 AB． ∴AE=EB=MF=FN． ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． ∴AM=EF=BC， EF∥BC∥AD． ∴ EF=1/2 (AD+BC)．,归纳与概括:,你能仿照三角形中位线定理，用文字语言来概括 梯形中位线的性质吗?,已知△ABC，分别连接三边中点D，E，F（如图）， 你能得到哪些结论呢?,,我们可以从线段的数量关系、三角形是否全等、是否有平行四边形等不同的角度来寻找．,连接AF，你有什么发现呢?,若请你添加一个条件,你又有什么发现呢?,2.从实验操作中发现添加辅助线的方法．,3.转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题， 将梯形中位线问题转化为三角形中位线．,小明有一个解不开的迷：他任意画了三个△ABC（不全等）， 发现只要向图中的角平分线BG、CF作垂线AG、AF，连接两 垂足F、G，则FG总是与BC平行，但他不会证明，你能解开 这个迷吗？,。