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1、第13讲:高频考点分析之集合探讨12讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,38讲,对数学思想方法进行了探讨,912讲对数学解题方法进行了探讨,从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。集合是近代数学的基础,也是高中数学最基本的概念之一。集合的思想、方法和语言使数学命题的表达更加简捷、明了,这注定了它可以渗透到数学的各个方面,也是高考考查的重要内容之一。2012年各地高考对集合的考查主要集中在3个方面:(1)集合的运算;(2)集合的元素个数;(3)把集合作为解决数学问题的工具,考查集合语言与集合思想的运用。我们从下面三方面探讨集合知识的考点:(1)集合的运算;(2)集合中的元素和个数;(3)集合思想的
2、运用。一、集合的运算:典型例题:例1.已知集合;,则中所含元素的个数为【 】 【答案】。【考点】集合的运算。【解析】由,得:;,所以中所含元素的个数为。故选。例2.已知集合A=xR3x20,B=x R(x1)(x3)0,则AB=【 】A(,1) B.(1,) C. ,3 D.(3,)【答案】D。【考点】集合的交集运算。【解析】, , AB=(3,)。故选D。例3. 已知全集=0,1,2,3,4,集合A=1,2,3,,B=2,4 ,则(CuA)B为【 】A 1,2,4 B 2,3,4 C 0,2,4 D 0,2,3,4【答案】C。【考点】集合的运算。【解析】全集=0,1,2,3,4,集合A=1,
3、2,3,,B=2,4,。故选C。例4.)设集合U=1,2,3,4,5,6, M=1,2,4 则【】AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6【答案】C。【考点】补集的运算。【解析】集合U=1,2,3,4,5,6, M=1,2,4 ,3,5,6。故选C。例5.设集合,集合,则【 】 A B C D【答案】A。【考点】集合的运算。【解析】,。 。故选A。例6.设集合,则=【 】A. B. C. D. 【答案】B。【考点】集合的基本运算。【解析】, 。故选B。例7.已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=0,1,3,5,8,集合B=2,4,5,6,8,则为【 】(A)5,8
4、(B)7,9 (C)0,1,3 (D)2,4,6【答案】B。【考点】集合的交集、补集运算【解析】全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=0,1,3,5,8,集合B=2,4,5,6,8,。为7,9。故选B。例8.集合,则【 】 A. B. C. D. 【答案】C。【考点】集合交集运算。【解析】,。故选C。例9.设全集,集合,则 。【答案】【考点】集合的运算。【解析】,集合,。例10.已知集合,则 【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。例11.已知集合=是平行四边形,=是矩形,=是正方形,是菱形,则【 】A. B. C. D.【答案】B。【考点】集合的概念
5、,集合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图,由图知是大的集合,是最小的集合,因此,选项A、C、D错误,选项B正确。故选B。例12.已知集合A=x|x2x20,B=x|1x1,则【 】(A)AB (B)BA (C)A=B (D)AB=【答案】B。【考点】集合的运算。【解析】 BA。故选B。例13.)设集合,集合是函数的定义域;则【 】 【答案】。【考点】对数函数的定义域,集合的运算。【解析】集合是函数的定义域,。 又,。故选。例14. 已知全集=0,1,2,3,4,集合A=1,2,3,,B=2,4 ,则(CuA)B为【 】A 1,2,4 B 2,3,4 C 0,2,4 D
6、 0,2,3,4【答案】C。【考点】集合的运算。【解析】全集=0,1,2,3,4,集合A=1,2,3,,B=2,4,。故选C。例15. 若全集的补集为【 】A B C D 【答案】C。【考点】集合的基本运算。【解析】,。故选C。例16.设全集U=1,2,3,4,5,6 ,设集合P=1,2,3,4 ,Q3,4,5,则P(CUQ)=【 】A.1,2,3,4,6 B.1,2,3,4,5 C.1,2, 5 D.1,2【答案】D。【考点】集合的并集和补集运算。【解析】全集U=1,2,3,4,5,6 ,Q3,4,5,CUQ=1,2,6。 P(CUQ)=1,2。故选D。例17.已知集合M1,2,3,4,N2
7、,2,下列结论成立的是【 】ANM BMNM CMNN DMN2【答案】D。【考点】集合的交集。【解析】因为集合M1,2,3,4,N2,2,所以MN2。故选D。例18.若集合,则 【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用,一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意,得,。例19.设函数集合 则为【 】(A) (B)(0,1) (C)(-1,1) (D)【答案】D。【考点】复合函数的概念,解一元二次不等式和指数不等式,集合及其运算。【分析】利用已知求出集合中的范围,结合集合,求出的范围,然后求解即可:由得,或,即或。或,即。由得,即,即。故选D。二、集合中的元素和个数:典型例题:例1.若
8、集合,则集合中的元素的个数为【 】A5 B.4 C.3 D.2【答案】C。【考点】集合的元素,分类讨论。【解析】分类讨论: 当时,或2,或1; 当时,或2,或3。 根据集合的互异性,中的元素的个数为3。故选C。例2.已知集合,则【 】A0或 B0或3 C1或 D1或3【答案】B。【考点】集合的概念和并集运算,集合的关系的运用,元素与集合的关系的综合运用。【解析】,。,。或,解得或或。根据集合元素的互异性,或。故选B。例3.已知集合 ,则满足条件的集合的个数为【】A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】D。【考点】集合的子集。【解析】求解一元二次方程,得 ,易知。,根据子集的定义,集合必须含有元
9、素1,2,且可能含有元素3,4。原题转换为求集合的子集个数,即有个。故选D。三、集合思想的运用:典型例题:例1.设集合,记为同时满足下列条件的集合的个数:;若,则;若,则。(1)求;(2)求的解析式(用表示)【答案】解:(1)当时,符合条件的集合为:, =4。 ( 2 )任取偶数,将除以2 ,若商仍为偶数再除以2 , 经过次以后商必为奇数此时记商为。于是,其中为奇数。由条件知若则为偶数;若,则为奇数。于是是否属于,由是否属于确定。设是中所有奇数的集合因此等于的子集个数。当为偶数 或奇数)时,中奇数的个数是()。【考点】集合的概念和运算,计数原理。【解析】(1)找出时,符合条件的集合个数即可。
10、(2)由题设,根据计数原理进行求解。例2.对于数集,其中,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P. (1)若2,且,求的值;(4分) (2)若X具有性质P,求证:1X,且当n1时,1=1;(6分) (3)若X具有性质P,且1=1,(为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)【答案】解:(1)选取,则Y中与垂直的元素必有形式。 ,从而=4。 (2)证明:取,设满足。 由得,、异号。 1是X中唯一的负数,所以、中之一为1,另一为1。故1X。假设,其中,则。选取,并设满足,即。则、异号,从而、之中恰有一个为1。若=1,则,矛盾;若=1,则,矛盾.=1。 (3)猜测,i
11、=1, 2, , 。 记,=2, 3, , 。 先证明:若具有性质P,则也具有性质P。 任取,、.当、中出现1时,显然有满足。 当且时,、1。 具有性质P,有,、,使得。从而和中有一个是1,不妨设=1,假设且,则。由,得,与矛盾。,从而也具有性质P。现用数学归纳法证明:,i=1, 2, , 。当=2时,结论显然成立。 假设时,有性质P,则,i=1, 2, , ; 则当时,若有性质P,则 也有性质P,所以。 取,并设满足,即。由此可得与中有且只有一个为1。 若,则,所以,这不可能; ,又,所以。 综上所述,i=1, 2, , 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。【解析】(1)根据题设直接求解。 (2)用反证法给予证明。 (3)根据题设,先用反证法证明:若具有性质P,则也具有性质P,再用数学归纳法证明猜测,i=1, 2, , 。例3.设A是由mn个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。对于AS(m,n),记Ri(A)为A的第行各数之和(1m),Cj(A)为A的第j列各数之