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1、第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题一、填空题1不等式组所表示的平面区域的面积等于_解析画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S1.答案2已知x，y满足记目标函数z2xy的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为_解析 由题意知，直线xbyc0经过直线2xy7和直线xy4的交点，经过直线2xy1和直线x1的交点，即经过点(3,1)和点(1，1)，b1，c2.答案 1，23已知A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足设Z为在上的投影，则Z的取值范围是_解析 约束条件所表示的平面区域如图.在上的投影
2、为|cos 2cos (为与的夹角)，xOA30，xOB60，30，150，2cos 3,3答案 3,34已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为_解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.答案 15设0，不等式组所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：当1时，W的面积为3；0，使W是直角三角形区域；设点P(x，y)，PW有x4.其中，所有正确结论的序号是_解析 当1时，不等式组变成其表示以点(0,0)，(2,2)，(2，1)为顶点的三角
3、形区域，易得W的面积为3，正确；直线xy0的斜率为，直线x2y0的斜率为，1，且直线x2垂直于x轴，W不可能成为直角三角形区域，错误；显然，不等式组表示的区域是以点(0,0)，(2,2)，为顶点的三角形区域，令zx，则其在三个点处的值依次为：0,4,2，zx的最大值zmax4，正确答案 6已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足则|PQ|的最小值为_解析 不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB的方程为xy20，过Q点且与直线AB垂直的直线为y4x5，即xy10，其与直线xy20的交点为，而B(1,1)，A(0,2)，因为1，所以点Q在直线xy20上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为
4、点Q到点B的距离，故|PQ|min5.答案 57若实数x，y满足则z3x2y的最小值是_解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线x2y0，平移直线x2y0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在x轴上的截距最小，此时x2y取得最小值，3x2y取得最小值，则z3x2y的最小值是30201.答案18若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为_解析平面区域A如图所示，所求面积为S222.答案9已知集合P，Q(x，y)|(xa)2(yb)2r2，r0若“点MP”是“点MQ”的必要条件，则当r最大时
5、，ab的值是_解析集合P所在区间如图阴影部分所示，由题意，QP，且ABBC，所以当r最大时，圆(xa)2(yb)2r2是四边形OABC的内切圆，从而abr，于是由a且a，解得ab，所以ab.答案10已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，cln bacln c，则的取值范围是_解析由条件可得令x，y，则问题转化为约束条件为求目标函数z的取值范围作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作yex的切线，切线方程为yex，切点P(1，e)在区域内故当直线yzx过点P(1，e)时，zmine；当直线yzx过点C时，zmax7，故e,7答案e,7二、解答题11实数x、y满足(1)若z，求
6、z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围解 作出可行域如图中阴影部分所示(1)z表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)而由，得B(1,2)，则kOB2.zmax不存在，zmin2，z的取值范围是2，)(2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方因此x2y2的范围最小为OA2(取不到)，最大为OB2.由，得A(0,1)，OA2()21，OB2()25.z的最大值为5，没有最小值故z的取值范围是(1,512制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑
7、可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域将zx0.5y变形为y2x2z，这是斜率为2、随z变化的一组平行线，当直线y2x2z经过可行域内的点M时，直线y2x2z在y轴上的截距2z最大，z也最大这里M点是直线xy1
8、0和0.3x0.1y1.8的交点解方程组得x4，y6，此时z40.567(万元)70，当x4，y6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大 13某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，
9、并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在(4,3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求14若a0，b0，且当时，恒有axby1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积解作出线性约束条件对应的可行域如图(1)所示，在此条件下，要使axby1恒成立，只要axby的最大值不超过1即可令zaxby，则yx.因为a0，b0，则10时，b1，或1时，a1.此时对应的可行域如图(2)，所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.
