《2016高考数学大一轮复习 3.3导数的综合应用教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 3.3导数的综合应用教师用书 理 苏教版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3导数的综合应用1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题3方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数
2、【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)连续函数在闭区间上必有最值()(2)函数f(x)x23x2的极小值也是最小值()(3)函数f(x)x1和g(x)x1都是在x0时取得最小值1.()(4)函数f(x)x2ln x没有最值()(5)已知x(0，)，则sin xx.()(6)若a2，则方程x3ax210在(0,2)上没有实数根()1(2014湖南改编)若0x1x2ln x2ln x1； ；.答案解析设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y的图象可知两函数图象交点x0(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调
3、函数，故不正确设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0.函数g(x)在(0,1)上是减函数又0x1x2g(x2)，x2 x1.2(2013福建改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是_xR，f(x)f(x0)；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点答案解析错，因为极大值未必是最大值错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点对，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x
4、0应为yf(x)的极小值点3设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_答案解析MN的最小值，即函数h(x)x2ln x(x0)的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.4若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证
5、明由(1)知，f(x)exln xex1，x(0，)，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x(0，)时，g(x)0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g().设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)h(x)综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.思维升华(1)证明f(x)g(x)可转化为证明F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值(2)对于F(x)f(x)g(x)的最小值，不易求出的情况，也
6、可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明(如本题中g(x)minh(x)max)证明：当x0,1时，xsin xx.证明记F(x)sin xx，则F(x)cos x.当x(0，)时，F(x)0，F(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增当x0时，f(x)1时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，b的取值范围是(1，)思维升华函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象
7、，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x.由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(
8、1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(3,1)题型三生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思维点拨(1)由x5时y11求a；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值解(1)因为x5时，y
9、11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4时，函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值，也是最大值所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大思维升华在求实际问题中的最大值或最小
10、值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.一审条件挖隐含典例：(16分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M.(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(
