《2016高考数学大一轮复习 2.9函数模型及其应用教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 2.9函数模型及其应用教师用书 理 苏教版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.9 函数模型及其应用 1几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb (a、b为常数，a0) 反比例函 数模型 f(x)b (k，b为常数且k0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc (a，b，c为常数，a0) 指数函数模型 f(x)baxc (a，b，c为常数，b0，a0且a1) 对数函数模型 f(x)blogaxc (a，b，c为常数，b0，a0且a1) 幂函数模型 f(x)axnb (a，b为常数，a0) (2)三种函数模型的性质 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，) 上的增减性 单调递
2、增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当xx0时，有logax0，当x10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k120，k2，y1y2x28，当且仅当x，即x5时取等号 3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为_ 答案 15,12 解析 由三角形相似得，得x(24y)， Sxy(y12)2180， 当y12
3、时，S有最大值，此时x15. 4(2014北京改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟 答案 3.75 解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得 解得 所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 题型一 二次函数模型 例1 某跳
4、水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE5 m，CF6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系 (1)当h1时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围 解 (1)由题意知最高点为(2h,4)，h1， 设抛物线方程为yax(2h)24， 当h1时，最高点为(3,4)，方程为ya(x3)24， 将A(2,3)代入，得3a(23)
5、24，解得a1. 当h1时，跳水曲线所在的抛物线方程为 y(x3)24. (2)将点A(2,3)代入yax(2h)24， 得ah21，所以a. 由题意，得方程ax(2h)240在区间5,6内有一解 令f(x)ax(2h)24x(2h)24， 则f(5)(3h)240，且f(6)(4h)240. 解得1h. 所以达到压水花的训练要求时h的取值范围为1， 思维升华 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定要注意函数的定义域 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：1
6、0万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运_年时，其营运的年平均利润最大 答案 5 解析 由题图可得营运总利润y(x6)211， 则营运的年平均利润x12， xN*，2122， 当且仅当x，即x5时取“” x5时营运的年平均利润最大 题型二 指数函数模型 例2 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车(精确到1小时) (2)里氏震级M的计算公式：Ml
7、g Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍 答案 (1)5 (2)6 10 000 解析 (1)设经过x小时才能开车 由题意得0.3(125%)x0.09， 0.75x0.3，xlog0.750.34.19. x最小为5. (2)由Mlg Alg A0知，Mlg 1 000lg 0.0013(3)6，此次地震的震级为6级 设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lglg A1lg A2(l
8、g A1lg A0)(lg A2lg A0)954.10410 000， 9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍 思维升华 一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个 答案 2ln 2 1 024 解析 当t0.5时，y2，2， k2ln 2，ye2tln 2， 当t5时，ye10ln 22101 02
9、4. 题型三 分段函数模型 例3 中共十八届三中全会提出要努力建设社会主义文化强国为响应中央号召某市2016年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造据调查，改造后预计该市在一个月内(以30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似满足f(x)4(1)，人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足g(x)104|x23|. (1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1x30，xN*)的函数关系式； (2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资 解 (1)由题意知p(x)f(x)g(x)4
10、(1)(104|x23|)(1x30，xN*) (2)由p(x) 当1x23时，p(x)4(1)(81x)4(82x)4(822)400， 当且仅当x，即x9时p(x)取得最小值400. 当23400. 所以当x9时，p(x)取得最小值400万元 则两年内的税收为40015%301221.5%648600，所以600万元的投资可以在两年内收回 思维升华 (1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小 (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，保证不重不漏 某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工
11、实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的奖励公式为f(n)k(n)(n10)，n10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分则乙所得奖励比甲所得奖励多_元 答案 1 700 解析 k(18)200(元)， f(18)200(1810)1 600(元) 又k(21)300(元)， f(21)300(2110)3 300(元)， f(21)f(18)3 3001 6001
12、 700(元) 函数应用问题 典例：(14分)某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x(xN*,80x100)件之间的关系如下表所示： 日产量x 80 81 82 x 98 99 100 次品率p p(x) 其中p(x)(a为常数)已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元(k为给定常数) (1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的函数； (2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？ 思维点拨 (1)首先根据图表确定次品率p(x)，利用“日盈利额正品盈利总额次品损失总额”求出y关于x的函数；(2)求第(1)步建立函数模型的最大值 解 (1)根据列表数据可
13、得a108， 所以p(x)(xN*,80x100)，2分 由题意，当日产量为x时，次品数为x，正品数为(1)x，3分 所以y(1)xkxk，6分 整理得ykx(3)(xN*,80x100)7分 (2)令t108x，t8,28，tN*.8分 则yk(108t)(3)k3283(t) k(32832)k.12分 当且仅当t，即t12时取得最大盈利，此时x96.13分 答 为了取得最大盈利，该工厂的日生产量应定为96件14分 解函数应用题的一般程序： 第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模求解数学模型，
14、得到数学结论； 第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 温馨提醒 (1)本题函数模型的建立分为两个阶段：先求次品率p(x)，再求日盈利额关于日产量x的函数，要在充分理解题意的基础上建模；(2)求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域；解题步骤的最后要对所求问题作答. 方法与技巧 1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础 2实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值 3解函数应用题的四个步骤：审题；建模；解模；还原 失误与防范 1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型 2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. A组 专项基础训练 (时间：40分钟) 1某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是_元 答案 108 解析 设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108. 2若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为_ 答案 解析 根据题意
