《2016高考数学大一轮复习 10.3二项式定理教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 10.3二项式定理教师用书 理 苏教版（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.3二项式定理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)0kn时，C与C的关系是CC.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn和Cn.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCCCCC2n1.知识拓展二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项
2、开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Canrbr是二项展开式的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()1(1x)7展开式中x2的系数是_答案21解析Tr1C17rxrCxr，令r2，则T3Cx2，即展开式中x2的系数为C
3、21.2在()n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_答案7解析由题意有n8，Tk1C()8k(1)k，k6时为常数项，常数项为7.3已知C2C22C23C2nC729，则CCCC_.答案63解析逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.4设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.答案0解析a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10C，a11C，所以a10a11CC0.题型一求二项展开式的指定项或指定项系数例1已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含
4、x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项思维点拨由通项公式写出第6项，令x的幂指数为0.解(1)通项公式为Tr1.因为第6项为常数项，所以r5时，0，即n10.(2)令2，得k2，故含x2的项的系数是C2.(3)根据通项公式，由题意令r (rZ)，则102k3r，k5r，kN，r应为偶数r可取2,0，2，即k可取2,5,8，第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可(1)(2014湖北改编)若
5、二项式(2x)7的展开式中的系数是84，则实数a_.(2)设二项式(x)6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_答案(1)1(2)2解析(1)二项式(2x)7的展开式的通项公式为Tr1C(2x)7r()rC27rarx72r，令72r3，得r5.故展开式中的系数是C22a584，解得a1.(2)因为(x)6展开式的通项公式为Tr1(a)rCx6r.所以A(a)2C，B(a)4C，由B4A，得(a)4C4(a)2C，解得a2.又a0，所以a2.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3
6、)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和思维点拨应用赋值法解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令x
7、y1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(
8、1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.已知f(x)(1x)m(12x)n (m，nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和解(1)由已知得C2C11，m2n11，x2的系数为C22C2n(n1)(11m)2.mN*，m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a5x5，令x1，a0a1a2a3a4a5253359，令x1，a0a1a
9、2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值(精确到小数点后三位)思维点拨(1)将2n23n变形为4(51)n，然后展开(2)1.028(10.02)8，展开后取前几项的值解(1)原式46n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理
10、中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式(1)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a_.(2)SCCC除以9的余数为_答案(1)12(2)7解析(1)512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a.因为52能被13整除，所以只需C(1)2 012a能被13整除，即a1能被13整除，且0a13，所以a12.(2)SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)2.因为C
11、98C97C是整数，所以S被9除的余数为7.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(14分)(1)已知(x1)6(ax1)2的展开式中含x3的项的系数是20，求a的值(2)设(5x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，求展开式中二项式系数最大的项易错分析解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆，从而导致计算错误；另外，也要注意项与项的系数，项的系数与项的系数绝对值的区别与联系规范解答解(1)(x1)6(ax1)2的展开式中x3的系数是CC(1)aCa26a215a20，3分x3的系数为20，6a215a2020，a0，a.6分(2)依题意得，M4n(2n)2
12、，N2n，8分于是有(2n)22n240，(2n15)(2n16)0，2n1624，解得n4.10分要使二项式系数C最大，只有k2，12分故展开式中二项式系数最大的项为T3C(5x)2()2150x3.14分温馨提醒(1)对于(axb)n展开式中，第k1项的二项式系数是指C，第k1项的系数是Cankbk.(2)对于(axb)n展开式中各项系数之和，令x1即得：(ab)n；(axb)n展开式的二项式系数之和为CCC2n.方法与技巧1通项Tr1Canrbr是(ab)n的展开式的第r1项，而不是第r项，这里r0,1，n.2二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的
13、项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关3因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法4运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系失误与防范1项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0.2求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”3关于组合式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法4展开式中第r1项的二项式系数与第r1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的
