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1、1,习 题 课,基本内容,典型例题,第七章 多元函数微分学,教学要求,2,一、基本内容,1. 多元函数的概念,2. 多元函数的极限,一元函数在某点的极限存在的充要,和一元函数极限的差异：,必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋,而多元函数,于P0时,多元函数的基本概念,条件是左右极限都存在且相等;,都有极限,且相等.,3,3. 多元函数的连续性,4. 多元函数的偏导数,高阶偏导数：,闭区域上连续函数的性质,最值定理 介值定理,4,5. 全微分,可微的必要条件,可微必连续，可微必可导。,可微的充分条件,偏导连续必可微。,偏导连续 可微 连续,有偏导,5,6. 多元复合函数的求导法则,（三种情况）
2、,(1) 抽象函数的情形,(2) 高阶复合函数求导,特别注意,7. 隐函数的求导法则,(1) 一个方程情形(二元方程、三元方程),(2) 方程组情形,隐函数的个数=方程的个数,隐函数的自变量个数=总自变量个数 方程的个数,6,8. 多元函数微分学的几何应用,(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形),(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形),9. 方向导数与梯度,方向导数,梯度,7,方向导数与梯度的关系,函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。,10. 多元函数的极值与最值,(1) 极值的必要条件,极值的充分条件,(2) 求条件极值的方法,代入法，Lagra
3、nge乘数法,(3) 求最值的方法,8,二、教学要求,与可微之间的关系.,掌握复合函数与隐函数偏导数的求法.,二元函数极限、,2.熟练掌握偏导数的定义与求法,特别要,会求函,数的全微分(尤其是判定分段函数分段点的可微性).,连续、,1. 掌握,存在偏导,9,5.了解方向导数与梯度的概念及其计,会用拉格朗日乘数法求多元函数的,3.熟练掌握空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线方程的求法.,方程、,4.熟练掌握二元函数的极值理论及其,求法,极值以及有关应用题.,算方法.,10,例,解,分析,拉格朗日乘数法.,三、典型例题,11,得,12,即得唯一驻点,根据题意距离的最小值一定存在,且有,故必在
4、,取得最小值.,唯一驻点,13,试求 和 .,解题思路,再代入上式即得.,例,14,上海交大考试题(97级),解,则,设曲面上的任意点为,且在此点的,法向量,上的任意一点处的切平面,练习,都过原点.,15,则,切平面方程为:,即证.,上的任意一点处的切平面都过原点.,16,解,例,此方向导数等于梯度的模?,17,此方向导数等于梯度的模?,18,19,作业,自测题七,(61页),4. 5. 6. 7. 8 11. 12.,20,例,解,三、典型例题,21,22,解,例,法一,方程组各方程两边微分, 得,分析,变量4个,方程3个,独立自变量1个.,由题意,选x为独立自变量.,23,法二,方程组各方程两边对x求导, 得,24,法三,而,
