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1、 本 科 毕 业 论 文 （ 设 计 ）题目： 非线性常微分方程解法初探 学生姓名 贺建霞 成绩（采用四级记分制） 学 号 2013114010 指导教师 郭真华 院 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2013 级 教务处制诚信声明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计） ，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。特此声明。论文作者签名： 日 期： 2017 年 5 月 2 日摘要 本文在线性常微分方程理论的基础之上
2、，对非线性常微分方程的解法进行了初步探讨。对于某些特殊类型的非线性常微分方程，可借助变量替换方法将其转化为线性常微分方程，进而运用初等积分法求出非线性常微分方程的解。对于不能转化为线性常微分方程的类型，分为连续解和非连续解两种情况来讨论。针对连续解，根据不同的情况分别用不同的理论证明解的存在唯一性。针对非连续解，首先，用能量法对相应的解作线性估计，适当地确定解空间；然后，利用巴拿赫压缩映像原理证明解的适定性，初步求出非线性方程的弱解；最后，将非线性常微分方程看作特殊的偏微分方程，应用椭圆方程的弱解正则性理论来研究非线性常微分方程弱解的正则性，将弱解转变为强解。关键字：非线性常微分方程；线性常微
3、分方程 ；变量替换；适定性；正则性 AbstractBased on the theory of linear ordinary differential equations, the solution of nonlinear ordinary differential equations is discussed. For some special types of nonlinear ordinary differential equations, it can be transformed into linear ordinary differential equations by m
4、eans of variable substitution method, and then the solutions of nonlinear ordinary differential equations are obtained by elementary integral method. For the types that can not be transformed into linear ordinary differential equations, it is divided into two cases: continuous solution and discontin
5、uous solution. For the continuous solution, the existence and uniqueness of the solution is proved by the corresponding theory. For the discontinuous solution, firstly, the solution of the corresponding solution is linearly estimated by the energy method. Then, the solution space is determined by us
6、ing the Banachian compression image principle. Then, the weak solution of the nonlinear equation is obtained. The nonlinear ordinary differential equation is regarded as a special partial differential equation. The weak solution regularity theory of elliptic equation is used to study the regularity
7、of weak solution of nonlinear ordinary differential equation, and the weak solution is transformed into strong solution. Keyword: nonlinear ordinary differential equation；linear ordinary differential equation ；variable substitution ； well-posedness of solution；regularity 目 录序言1第一章 将非线性常微分方程转化为线性常微分方
8、程2 1.1 伯努利微分方程2 1.2 变量分离型方程3 1.3 可转化为变量分离型方程的方程类型3 1.4 全微分方程5 1.5 可转化为全微分方程的方程类型6 第二章 非线性微分方程解的适定性 72.1 连续解72.1.1 解的存在唯一性72.1.2 解的延拓72.2 非连续解82.2.1 巴拿赫压缩映像原理8 2.2.2 解的适定性82.2.3 弱解的正则性 10 第三章 总结28参考文献29 序言常微分方程是伴随着微积分慢慢发展起来的，随着各种各样实际问题的出现以及根据实际生活中的问题建立方程以后在数学方面所作的推广，常微分方程日益引起人们的关注，该问题已成为近代数学的一个重要研究方向
9、。常微分方程在很多科学技术领域内提供了关键性的理论支撑,发挥着重要的作用,比如在力学、经济学、生物技术、电子技术领域等等。自动控制、人口问题、弹道轨道问题、导弹飞行的稳定性研究、经济问题等等,这些实际问题最终都要么转化为求微分方程的解，要么转化为研究方程对应的解的性质. 实际生活中的问题大多转变为求满足给定初边值条件的微分方程的特解. 一方面，常微分方程理论的逐步发展推动了诸多技术领域的发展。另一方面，这些技术的出现也促进了常微分方程理论日益走向成熟。非线性常微分方程作为常微分方程的重要构成内容，在理论和实践方面均有着重要的意义。非线性常微分方程远复杂于线性常微分方程，运用初等积分法求解非线性
10、常微分方程几乎是不可行的，所以我们必须用不同于线性微分方程理论的方法去研究非线性微分方程的解。已有的研究给出了一些可以求解的特殊的非线性常微分方程以及关于方程对应的解的定性分析。本文在线性常微分方程和偏微分方程的理论基础之上，对非线性常微分方程的解法进行了初步研究，主要包括两部分内容。第一部分内容整理归纳出可转化为线性常微分方程的特殊类型的非线性常微分方程；第二部分内容在研究了微分方程的连续解之外，还研究了其非连续解。针对连续解，通过判断已知函数关于自变量是否满足利普希茨条件分别用不同的方法来证明解的适定性。针对非连续解，其适定性可应用巴拿赫压缩映像原理来证明。其中，第二部分内容是本文的重点，
11、将非线性常微分方程看作特殊的偏微分方程，借助偏微分方程中的理论和方法来研究非线性常微分方程的解。 1 将非线性常微分方程转化为线性常微分方程对于某些特殊类型的一阶非线性常微分方程，可以用积分法求解。极少数高阶方程可以通过变量替换使方程降阶，进而可以用积分法求解。在每一次降阶的过程当中，都是在解一阶常微分方程。因此，对于非线性常微分方程，下面先介绍几类能用初等积分的方法求解的一阶非线性微分方程。考虑如下形式的一阶非线性常微分方程（1.1）=(,), (,) 其中，D 是 中的一个单连通区域，f 对 x 和 y 连续。21.1 伯努利微分方程 =()+()（1.2）其中 P(x),Q(x)为 x
12、的连续函数，且 n0,1。通过变量替换可将伯努利微分方程化为线性常微分方程。y=0 为方程的解。当 y0 时，在（1.2）式两边同乘以 ,得（1.3）=1()+()作变量替换 （1.4）=1 则（1.5）=(1)将（1.4）式和（1.5）式代入(1.3)式，得=(1)()+(1)()因此，得到一阶线性微分方程。该方程的解是()=(1)()+(1)(1)()()(1)()再将 代入 ，得=11()=(1)()+(1)(1)()()(1)()1.2 变量分离型方程若一阶非线性方程右方函数 可以分离为两个单变量函数的乘积，即(,)(,)=()()其中 分别是 的连续函数。()， () ,则有（1.6
13、）=()(), (,)12且 的定义域 上的区间。形如（1.6）形式的方程(,) =12， 1和 2均 为 为变量分离方程。如果 h(y)在 上有零点，不妨设 ,则 就是方程2 (0)=0 =0（1.6）的一个解。在 上由定常解划分的各个区间内，给方程（1.6）两边同除2以 h(y),得1()=() 即()=()作变量替换 ,得到线性方程=()=()求解该方程得=+()再将 代入，得=()()=+()1.3 可化为变量分离型方程的类型(1.7)1. =(+)作变量替换 ,则有=+=+()上述方程为一个变量分离型方程。令 ,即为方程()=1,()=+()（1.6）的形式，按照 1.2 节中介绍的方法进行求解，然后换回最初的变量，便得到原方程（1.7）的解。(1.8)2. =(
