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1、挠度理论的控制平衡微分方程 挠度理论控制微分方程求解方法 变截面（Ritter函数）拱的基本解 变截面（ ）拱的基本解 变截面（ ）抛物线拱的基本解 等截面拱的摄动法及其它数值法简介 小结 本章参考文献,19 拱桥挠度理论,1886年由JMelen提出的吊桥挠度理论已被人们广泛接受并应用到工程实际中去。1988年由西安公路学院何福照教授提出的拱桥挠度理论1经过十多年的研究完善，正逐步被人们所认识234。与吊桥挠度理论的分析结果相反，拱桥考虑挠度影响后内力大于不考虑此影响的内力，这意味着应用弹性理论所设计的拱桥存在不安全隐患。本章着重介绍挠度理论的精确解析法，简介有关非线性数值分析方面的内容，详
2、细讨论可参阅文献26,挠度理论的控制平衡微分方程 (1) 分析假定 （a）平截面假定：即截面法线方向与切线方向的夹角在变形前后保持不变； （b）弹性中心不动假定：即将拱轴变形引起弹性中心位置的改变量忽略不计； （c）恒、活载可叠加假定：即认为可将恒、活载分别,分析，然后叠加求得总内力。这样处理虽附合加载顺序及设计习惯，但不符合非线性理论的一般规律，在计算中，若有必要，应将恒、活载作用一并考虑，并不影响这一理论的应用。,2) 平衡微分方程 如下图所示，挠度理论的控制微分方程为2 （1）恒载阶段 平衡微分方程为,边界条件为,约束方程为,（2）外载阶段 平衡微分方程为,边界条件为,约束方程为,挠度理
3、论控制微分方程求解方法 无论是恒载阶段，还是活载阶段，挠度理论的控制微分方程均可以写为,边界条件为,约束方程为,常见的变截面拱有以下三种变化规律 （1） 函数，即,（2） 时，即,（3） 时，且 有 与相似的规律,拱顶截面,此三种变化规律均可找到挠度理论的控制微分方程的解析解，按以下步骤即可获得挠度理论的全部解答 （1）满足边界条件求出方程的全解，但解中含有弹性中心的三个赘余力及拱轴力 （2）利用及三个约束方程可求出三个赘余力 （3）回代即可获得全部变形及内力 对于等截面拱，可获得数值解,变截面（Ritter函数）拱的基本解 取 进行分析，分析时仍按恒载作用阶段及活载作用阶段两个阶段进行,1)
4、 恒载阶段,令,则,将以上关系代入恒载阶段的控制方程，则方程变为,（1）挠度曲线 由于恒载及结构都是对称的，恒载挠曲也将是左右对称的。因此，可以只讨论 在 范围内的解,上式的齐次方程为,=0,进行变量转换，可令,则齐次方程式可转换成,这是标准的贝塞尔函数方程式。故可得其齐次解为,1/3 阶的贝塞尔函数,阶的贝塞尔函数当用无穷级数表示时为,控制方程式的特解可由拉格朗日参数变异法求得，即,为 和 的朗斯基行列式，即,于是方程的全解为,将 代入上式，并取 ，则上式可改写为,其中：,（2）待定常数 将方程的全解及其导数代入边界条件，解得待定常数为,其中：,（3）赘余力 将方程的全解及其导数代入约束方程
5、，可整理出求解赘余力方程为,2 ） 外载阶段 外载作用时的控制方程与恒载作用时类似，但此时挠曲线将不再对称。 可以分别对左半拱及右半拱进行讨论，并要求挠曲线在,原点连续，即,与恒载作用阶段相似，令,将控制方程式改写成,（1） 的区段 同样进行变量转换，令,可将外载作用的齐次方程转换成标准贝塞尔函数方程式,与恒载阶段相仿，可得 时的挠度表达式为,将 的表达式代入上式，则可将上式改写成以赘余力表达的形式，即,式中：,（2） 0的区段 作与 0的相似的变换，同理可得,上式中的 、 与前式中的表达式形式是相同的，只是计算 时 应取负值，即 。式中系数 也与前式中相应的系数 表达式完全相同，只需注意将
6、取成负值,需要指出的是， 及 反映的是活载推力在恒载挠度上产生的附加力矩，此时计算的活载挠度曲线是以变形后的拱轴线即 变为 后的轴线为基础的。但此时弹性中心至拱顶的距离 仍近似认为不变（基本假定2）。,（3）待定常数 将两挠度式及其导数代入边界条件式及拱顶处挠曲线变形连续条件式，经整理后可解得式待定常数值为,式中：,（4）赘余力 将两挠度式及其导数代入约束方程式，经整理化简后即可得到求解赘余力的方程组,式中,弹性中心处的赘余未知力解出后，不难求得拱各截面计入拱的挠度理论后的内力值及挠度值,变截面（ ）拱的基本解 1） 恒载阶段,令 则控制方程式（变为,其全解为,将上式及其导数代入边界条件方程式
7、中，经整理有,其中：,且 将其及其导数代入约束方程中，经整理有,式中：,2 ） 外载阶段 令 ，用同样的方法可得,（1）挠曲线方程,其中：,(2)待定系数,（3）赘余力,式中：,变截面（ ）抛物线拱的基本解 设拱轴方程为,令 ，则控制方程方程可以写为,式中： 按照前述办法，可以解得挠度方程及内力,1） 挠度曲线,式中：,2） 赘余力,式中：,等截面拱的摄动法简介 以外载阶段方程为例，令 将控制方程式改写为,并转化为积分方程,其中常数为,分部积分有,将 的有关表达式代入约束方程式中有,式中：,将式各函数及自变量无量刚化，即令,外荷载,将以上各参数分别代入，可得摄动方程为,其中：,如将 、 作为摄
8、动参数，将 和 展为 、 的无穷级数，即,则可获得摄动解，详细讨论见文献2。 拱桥的挠度理论控制方程还可以用其它数值方法求解。在4中，对系杆拱桥的拱结构分析按挠度理论求解，对梁结构分析考虑非线性影响7，则可获得系杆拱的非线性解,小结 （1）弹性理论,若 =0的或（ ） ，则获弹性理论方程,（2）线性挠度理论 若参数 、 为已知时，则求解赘余力方程组成为线性方程组，内力与荷载成线性关系，叠加原理仍将适用，因而可以用影响线方法来求内力，称为线性挠度理论。 这时，可以用弹性理论所得的恒载推力值 代替参数 中的 ，使 成为已知值。如再进一步忽略活载推 力 ，使 也为已知，即可据此求得拱的内力影响线，然
9、后在影响线上加载求内力。这不仅使计算简化，使用方便，也能直观反映推力、挠度对内力的影响程度。 大多数拱桥的恒载远大于活载，用线性挠度理论计算其活载内力也是可行的,（3）挠度理论的弹性中心 挠性理论中的弹性中心位置已不能使挠度理论中求解弹性中心赘余力方程的副系数为零。但就线性挠度理论而言，仍然存在变位互等性，即剪力不引起弹性中心的水平位移和转角位移，同时水平力和弯矩对弹性中心的相对竖向位移的贡献也为零。另外，从线性挠度理论中可以证明，单位水平力引起的弹性中心相对转角与单位弯矩引起的弹性中心相对水平位移是相等的,要确定挠度理论时的弹性中心位置 ，可以在求解赘余力方程中令副系数如 ，从而解出为,在恒
10、载作用阶段，同样可求解，由此可见，挠度理论中的弹性中心位置不但与拱圈的几何因素有关，而且与外,荷截及其作用位置有关，如果在分析时采用这个弹性中心，不但计算繁复，也不便与弹性理论作比较。 分析表明两者的差别是微小的，因此，在基本假定中认为变形前后弹性中心的位置不变。,（4）等截面拱 等截面拱桥的精确解析式较难得出，可用数值方法求解，如摄动法3，但以上特征是共同的。,（5）其它支承拱桥 本章仅对无铰拱进行了分析研究，对于其它支承的拱桥，如两铰拱，三铰拱，引入类似的边界条件，并修正约束方程，按照求解无铰拱的思路可以求解，可参见文献2 （6）数值分析表明，跨径100m左右的拱桥，挠度理论结果与弹性理论
11、有时相差达20%左右，且跨径、刚度等对结果影响较大，这不能不引起大跨径柔性拱设计时注意。,本章参考文献,1何福照等.拱的挠度理论按非线性理论设计大跨径拱桥.中国土木工程学会桥梁及结构工程学会学术会议论文，1988. 2贺拴海.拱桥挠度理论.北京：人民交通出版社，1996. 3李子青.等截面无铰拱的挠度理论分析.西安公路学院硕士论文，1988.3. 4李毅谦.变截面无铰拱的挠度理论分析.西安公路学院硕士论文，1987.11. 5贺拴海等.拱桥的几何非线性分析挠度理论.中国公路学报.Vol4，No.3,1991. 6华孝良，徐光辉.桥梁结构非线性分析.北京：人民交通出版社.1998. 7贺拴海，刘志文，宋一凡.斜拉桥的极限承载力分析.中国公路学报.Vol.13,No.3,2000.,
