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1、现代电力系统分析,任课教师：葛少云,研究生学位课：,四、最优潮流计算的牛顿算法 最优潮流作为一个非线性规划问题，可以利用非线性规划的各种方法来求解，更由于结合了电力系统的固有物理特性，在变量的划分、等式及不等式约束条件的处理、有功与无功的分解、变量修正方向的决定、甚至基本潮流计算方法的选择等等方面，都可以有各种不同的方案。为此即使是采用非线性规划方法，也曾出现过为数甚多的最优潮流算法。其中，在1984年由参考文献28(Sun D I)提出的最优潮流牛顿算法，得到了国内外学者的高度评价，已成为发展新一代最优潮流程序时优先予以选用的算法。,(一)牛顿法的基本原理 如同上面提到的梯度法或最速下降法，
2、牛顿法是另一种求无约束极值的方法。 设无约束最优化问题 其极值存在的必要条件 f(x)=0，在一般况下为一个非线性代数方程组。,现在用牛顿法对非线性代数方程组求解，于是得到优化的迭代格式为 式中f(x(k)为目标函数f(x)的梯度向量；k为迭代次数；H(x)= 2f(x)为目标函数f(x)的海森矩阵，是目标函数对于x的二阶导数，故牛顿法又称为海森矩阵法。 算法的收敛判据是，| f(x(k)| 。,牛顿法在按上述的基本格式进行迭代时，其搜索方向为 可见这种方法与最速下降法比较，除了利用了目标函数的一阶导数之外，还利用了目标函数的二阶导数，考虑了梯度变化的趋势，因此所得到的搜索方向比最速下降法好，
3、能较快地找到最优点。 牛顿法在有一个较好的初值，并且H(x(k)为正定的情况下，收敛速度极快，具有二阶收敛速度，这是该法的突出优点。,但是牛顿法的使用也受到一些限制： (1)要求f(x)二阶连续可微； (2)每一步都要计算海森矩阵及其逆阵，内存量和计算工作量都很大。为此,对于变量维数很高的优化计算，实用上往往被迫转而采用不必直接求H及其逆阵的拟牛顿法(变尺度法) 。,但是在有些情况下，海森矩阵是一个稀疏阵，于是可以采用结合了稀疏矩阵技术的高斯消去法等一整套极其有效的方法，直接求解修正方程以求得x，其计算效率极高。 而在电力系统最优潮流计算问题中，通过模型的适当建立，相应的海森矩阵可以是一个高度
4、稀疏的矩阵，从而使海森矩阵法这种收敛速度极快的方法完全可以在最优潮流计算这样的大规模非线性规划问题中得到应用。而这正是下面要介绍的牛顿最优潮流算法的最基本特色，,(二)最优潮流牛顿算法 在最优潮流牛顿算法中，对变量不再区分为控制变量及状态变量，而统一写为x，这样便于构造稀疏的海森矩阵，优化是在全空间中进行的。 于是最优潮流计算归结为如下非线性规划问题,先不考虑不等式约束h(x)，可构造拉格朗日函数 定义向量zx，T，即可得到应用海森矩阵法来求最优解点z*的迭代方程式 或可以更简洁的方式表示为 （1-224） 式中：W及d分别为L对于z的海森矩阵及梯度向量。,由于在迭代过程中要反复求解上式，因此
5、计算中所需的内存量以及计算量主要决定于修正矩阵W的结构，为此必须对w的构造作仔细研究。 由于zx，T ，所以式 可改写成： （1-225）,其中,令 ，即拉格朗日函数关于变量x的海森矩阵； ，即等式约束条件方程关于x的雅可比矩阵。这样可将前式(1-225)写成 （1-227）,结合具体的最优潮流计算模型，若 变量x在这里仅由节点电压角度及模值向量组成 等约束条件方程为潮流方程 则将由有功及无功潮流方程的拉格朗日乘子P及 Q 组成，于是前式(1-227)可进一步具体化为,式中的H是一个对称矩阵，并且H及J的四个子阵均具有和节点导纳矩阵相同的稀疏结构,因此如果将该式中未知量向量的元素重新排列，即将
6、和每一个节点相对应的i 、Ui、 Pi 、 Qi排列在一起，然后按节点号的顺序排列，这样W就变成以4X4阶子矩阵,为子块的分块矩阵结构，如以每个子块作为矩阵w的一个元素，则w矩阵将和节点导舶矩阵具有相同的稀疏结构，因而是一个高度稀疏的矩阵。,仅考虑等式约束的最优潮流牛顿算法的主要步骤： (1)对变量z(x,)赋初值，迭代计数k0； (2)计算式(1-224)的右端项L(z(k)，即向量d； (3)判断收敛判据是否满足；若满足，则z(k)就是要求的最优解；否则转向第4步； (4)用z(k)形成迭代矩阵W， (5)对W三角分解，求解式(1-224),得到z(k)； (6) z(k+1)= z(k)
7、+ z(k) (7)k=k+l，转向第2步。 以上第3步中的收敛判据即库恩-图克条件，在这里由于仅考虑等式约束条件，因此应该包括所有潮流计算方程已得到满足，另外除非有舍入误差，否则应有 |(z*) | 0。,分析以上计算步骤，不难看到，其核心部分和牛顿法常规潮流的计算步骤十分相似，每次迭代的主要计算都集中在形成并求解以线性代数方程组形式出现的迭代方程式，并且其系数矩阵W或J都是具有和导纳矩阵有相似稀疏结构的高度稀疏的矩阵，因此牛顿法常规潮流计算修正方程式求解时所采用的各种技巧完全在这里可以得到应用。,由于采用了牛顿法作为优化方法，使得员优潮流牛顿算法具有二次收敛速度，能经过少数几次迭代便收敛而
8、找到最优点。 因为W矩阵的阶数达到4NX4N以上，为减少内存及每次迭代的计算量，关键是要充分开发并在迭代过程中保持W矩阵的高度稀疏性。另外在求解时采用特殊的稀疏技巧，只有这几者结合，才能开发出高性能的实用牛顿法最优潮流计算程序。 为了进一步减少计算量及内存需量，也可以利用电力系统有功及无功间的弱相关性质，将P-Q解耦技术应用于迭代方程式，从而形成解耦型最优潮流牛顿算法。,最优潮流牛顿算法对不等式约束的处理方法。 如同其它非线性规划算法一样，不等式约束的处理对于最优潮流牛顿算法来说，也仍然是一个有待进一步研究解决的问题。 对于越界的不等式约束，可以也采用罚函数的处理方法，于是原来的拉格朗日函数式
9、(1-222)将增广为 式中：p(x)代表由被强制或制约的越界不等式约束构成的总惩罚项。,另一种方法则可以根据越界不等式约束的物理特性及其函数表示形式，将其中的一部分仿照等式约束的处理方法，使越界的不等式约束hi(x)0，转化为等式方程以 hi(x)0，然后通过拉格朗日乘子引入原来的拉格朗日函数，于是有 (1-230) 式中： hi(x)为由越界不等式约束所组成向量；将hi(x) 转化为等式方程实际上即意味着将它们强制在界上，这是一种硬性限制，而罚函数法则是软性限制。,在计入不等式约束以后，前面提到的仅考虑等式约束条件的计算步骤将要作一些改变。 由于随着迭代点的依次转移，越界的不等式约束会不断
10、增减改变，于是为了对它们进行强制或释放，就必须不断改变目标函数式(1-229)或式(1-230)中的罚函数项p(x) 或h(x)，的内容，并在此基础上构成新的迭代方程而求出新的迭代点。在具体实现时又可以有不同的方案。,第一种，就是每求得一个新的迭代点x(k)后，通过不等式约束是否满足的检验，找出在该迭代点处越界不等式约束的变动情况，然后就据此修改增广拉格朗日函数中的p(x)或 h(x)，接着便进行下一轮迭代。 由于在一次次迭代中间越界不等式约束变动频繁，致使达到收敛所需的迭代次数较之仅考虑等式约束的情况要增加很多，而这也是采用非线性规划的算法所遇到的共同难点。,第二种更为完善的处理方案则要利用
11、“起作用的不等式约束集”的概念。所谓起作用的不等式约束集，是指在最优解点x*处，属于该约束集的所有不等式约束都成了等式约束，即hi(x*)0。或者说若最优解点x*正好处在由某个约束所定义的可行域的边界上时，则这个约束就称为起作用的不等式约束。如果预先能知道最优解点处全部起作用的不等式约束，并将这些约束作为拉格朗日函数式(1-230)中的h(x)，则优化问题就变为只包含等式约束的优化问题，算法的收敛将非常平稳快速，并具有牛顿法的二阶收敛速度。,但决定起作用的不等式约束集却是一个复杂而困难的问题，必须采用逐步试探接近的途径。在这方面已经提出了不同的方法。 一种是采用试验迭代的方法，即在计算量很大的
12、二次牛顿主迭代之间进行一些计算量较小的试验性迭代，以确定当前起作用的不等式约束集。 而另一种则采用了特殊的线性规划技术。该方法能使最优潮流牛顿算法如同常规牛顿潮流计算一样，经过35次主迭代便得到收敛。 有兴趣的同学可参阅有关文献。,五、解耦最优潮流计算 常规潮流计算中快速解耦算法的成功促使人们联想到在最优潮流计算问题中也可以引入有功、无功解耦技术，从而产生了另一类最优潮流计算模型，并称之为解耦最优潮流 (Decoupled OPF)。值得注意的是和FDLF算法不同，那里涉及的是在具体求解算法上的解耦简化处理，而这里要讨论的解耦最优潮流则是从问题的本身或问题的模型上把最优潮流这个整体的最优化问题
13、分解成为有功优化和无功优化两个子优化问题。这两个子优化问题可以独立地构成并求解，实现单独的有功或无功优化；也可以组合起来交替地迭代求解，以实现有功、无功的综合优化。,子优化问题模型的建立。 按照与有功及无功问题的关联，首先将控制变量分成up及uq两组，状态变量也分成xp及xq两组。其中， up为除平衡节点外，其它发电机的有功出力； xp为除平衡节点外，其它所有节点的电压相角； uq为所有发电机(包括平衡节点)及具有无功补偿设备节点的电压模值，另外还有调压变压器变化， xq为除上述uq中所列的节点以外的其余节点的电压模值。,等式及不等式约束也可以分成gp 、gq、及hp、hq两组。于是，两个子优
14、化问题的数学模型分别如下。,(一)有功子优化问题 这里通常用全系统的发电燃料总耗量或总费用作为目标函数。与无功有关的控制变量uq，及状态变量xp均作为不变的常数处理，设用uq0及xq0表示，于是有功子优化问题的数学模型可写成如下的普遍形式,(二)无功子优化问题 在无功子优化问题中，究竟采用什么目标函数曾经提出过不同的意见。有的从系统的安全性为出发点，例如以节点电压偏离其规定值为最小，或者以无功备用在系统中的均匀分布以能够较好地应付可能受到的扰动为目标；而有的则侧重于经济性的考虑。但目前用得比较多的还是后者，以系统的有功损耗作为目标函数。和进行有功优化类似，在无功子优化问题中，把有功相关控制变量
15、及状态变量也作为不变的常量处理，于是无功子优化问题的数学模型可写成以下的普遍形式:,以上建立的有功及无功两个子优化问题可以独立地求解，以实现单独的有功、无功优化，而能达到有功、无功综合优化的解耦最优潮流计算则要交替地迭代求解这两个子问题，其步骤如下:,(1)通过初始潮流计算，设定控制变量初始值。 (2)令uq0uq(0)，xq0xq(0)，迭代计数k1。 (3)保持uq0及xq0 不变，解有功子优化问题，得到up的最优值up*(k)及相应的xp*(k) 。 (4)令up0up*(k)，xp0xp*(k) 。 (5)保持up0及xp0数值不变，解无功子优化问题，得到uq的最优值uq*(k)及相应
16、的xq*(k) 。 (6)检验| uq*(k)- uq*(k-1) |， | up*(k)- up*(k-1) |，是否满足 (7)若满足上列收敛条件，计算结束；否则令 uq0= uq*(k)， xq0= xq*(k) 。 (8)kk+l，转向步骤(3)。,由上可见，通过解耦或分解，优化过程变为两个规模近似减半的子问题串行迭代求解，这样的算法将能在内存节约以及减少计算时间方面取得相当的效果。因此，在考虑具有实时运行要求的，特别是大规模电力系统的最优潮流算法时，采用这种解耦的最优潮流计算模型是一种很好的选择。,研究解耦最优潮流计算的求解方法问题。从前面所列出的子优化问题的数学模型可见，它和本节一开始所讨论的最优潮流的一般模型是完全相似的，因此求解最优潮流的各种方法都能够在这里得到应用。从已经提出的一些较典型的算法来看，包括有采用非线性规划、二次规划以及线性规划的各种算法模型。,除此之外，还应该特别强调的是解耦最优潮流的另一个优点在于容许
