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1、 - 1 - 正 、 余弦定理 一、知识 总结 (一 )正弦定理 1.正弦定理 ： 2,s in s in s ina b c RABC 其中 R 是三角形外接圆半径 . 2.变形公式 ：（ 1）化边为角： （ 2）化角为边： （ 3） （ 4） . 3、正弦定理可解决两类问题 ： （ 1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （解唯一） （ 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 . （解可能不唯一） 在 ABC 中，已知 a、 b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解
2、（二） 余弦定理 ： 1.余弦定理 : 2 2 2 2 c o sa b c b c A 2 2 2 2 c o sc a b a b C 2 2 2 2 c o sb a c a c B 2.变形公式 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2c o s , c o s , c o s .2 2 2b c a a c b a b cA B Ca b a c a b . 注： 2a 22 cb A 是钝角； 2a = 22 cb A 是直角； 2a 22 cb A 是锐角； 2 s i n , 2 s i n , 2 s i n ;a R A b R B c R C s i n , s i n ,
3、 s i n ;2 2 2a b cA B CR R R : : s in : s in : s ina b c A B C2s i n s i n s i n s i n s i n s i na b c a b c RA B C A B C - 2 - 3.余弦定理可以解决的问题 ： （ 1）已知三边，求三个角；（解唯一） （ 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： 4.由余弦定理判断三角形的形状 a2=b2+c2 A 是直角 ABC 是直角三角形， a2 b2+c2 A 是钝角 ABC 是钝角三角形， a2 b2+c A 是锐角 / ABC 是锐角三角形。 （注意：
4、 A 是锐角 / ABC 是锐角三角形 ，必须说明每个角都是锐角） (三 ) ABC 的面积公式 : （ 1） 1 ()2aaS a h h a 表 示 边 上 的 高； （ 2） 1 1 1s i n s i n s i n ( )2 2 2 4abcS a b C a c B b c A RR 为 外 接 圆 半 径； （ 3） 1 ( ) ( )2S r a b c r 为 内 切 圆 半 径 (四 ) 实际问题中的常用角 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图） 2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方
5、位角为 （如图） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 3.方向角： 相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向； 北偏本 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向； - 3 - 南偏本等其他方向角类似。 4.坡度： 坡面与水平 面所成的二面角的度数（如图，角 为坡角） 坡比： 坡面的铅直高度与水平长度之比（如图， i 为坡比） (五 ) 有关三角形内角 和公式的几个常用变形 : 1. A B C , A C B , B C A 2. A B C , B A C , C A B 如： s
6、 i n s i n ; c o s c o s ; t a n t a nA B C A B C A B C ,s i n c o s , c o s s i n .2 2 2 2A B C A B C 二、例题讲解 1.已知两角及任意一边解三角形 例 1. （ 2016 年全国 II） 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 例 2. (2016 江苏省高考 )在ABC中， AC=6，4 os .54BC=，（ 1）求 AB 的长； （ 2）求cos( 6A- )的值 . 练习 1.（ 2013新课标 文 4） 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 ABC 的面积为（ ） A. 2 3 2
7、 B. 31 C.2 3 2 D. 31 ABC ,ABC ,abc 4cos 5A 5cos 13C1a bABC ,ABC ,abc 2b 6B 4C - 4 - 2.已知两边及一边的对角解三角形 例 3.已知 中 的对边分别为 若 且 ,则 ( )A 2 B 4 C 4 D 例 4.（ 2013新课标 文 10） 已知锐角 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a ,b ,c ,02co sco s23 2 AA , 7a ,c=6,则 （ ） A.10 B.9 C.8 D.5 练习 2.（ 2013北京高考文科 5）在 ABC 中， a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=
8、( ) A. B. C. D.1 练习 3.（ 2011 安徽） 在 ABC 中 ,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长 ,a= ,b= ，,求边 BC 上的高 . ABC CBA , ,abc 62ac 75Ao b23 23 62b131559533 21 2 cos( ) 0BC - 5 - 3 已知两边及其夹角解三角形 例 5.（ 2013天津高考理 6） 在 ABC 中 , 则 = ( ) A. B. C. D. 练习 4（ 15 年江苏） 在 ABC 中，已知 60,3,2 AACAB . (1)求 BC 的长； (2)求 C2sin 的值 . 4.已知三边解三角形 例
9、6. （ 15 北京理科） 在 ABC 中， 4a ， 5b ， 6c ，则 sin2sinAC 练习 5（ 2016 年上海高考） 已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 _ 5.利用边角转化解三角形 例 7. (2011全国 ) ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c.己知 . （ I）求 B； （ ）若 . , 2 , 3 ,4 A B B CABC sin BAC1010 105 31010 55s i n c s i n 2 s i n s i na A C a C b B 075 , 2,Abac求 ， - 6 - 例 8. (201
10、6 年全国 I) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2 c o s ( c o s c o s ) .C a B + b A c （ I）求 C； （ II）若 7,c ABC 的面积为 332 ，求 ABC 的周长 、 例 9.在 ABC 中 ,cos2B2 a c2c ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边 ),则 ABC 的形状为 ( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 例 10（ 2016 年山东高考） 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知（ ）证明： a+b=2c; （ ）求 co
11、sC 的最小值 . 例 11.在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已 c o s C (c o s A 3 sin A ) c o s B 0 . (1)求角 B 的大小； (2)若 a c 1，求 b 的取值范围 . t a n t a n2 ( t a n t a n ) .c o s c o sABAB BA - 7 - 例 12 在 ABC 中， a、 b、 c 分别是三内角 A、 B、 C 的对边，已知 2asinA (2b c)sinB (2c b)sinC. (1)求角 A 的大小； (2)若 sinB sinC 1，试判断 ABC 的形状 练习
12、6（ 2011 浙江） 在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分 ,abc.若 cos sina A b B ，则2s in c o s c o sA A B( ) A -12 B 12 C -1 D 1 练习 7（ 2016 年四川高考） 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 c o s c o s sinA B Ca b c. （ I）证明： sin sin sinA B C ；（ II）若 2 2 2 65b c a bc ，求 tanB . 练习 8（ 2014 浙江理 18） 在 ABC 中，内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，已知 ab ， 3c ，
13、22c o s c o s 3 s i n c o s 3 s i n c o s .A B A A B B （ 1） 求角 C 的大小；（ 2）若 4sin ,5A 求 ABC 的面积 . - 8 - 练习 9.(13新课标 理 T17) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 a=bcosC+csinB. (1)求 B. (2)若 b=2,求 ABC 面积的最大值 . 6. 三角形中的几何计算 例 13. （ 15 年新课标 2 理） ABC 中 ,D 是 BC 上的点 ,AD 平分 BAC,ABD 是 ADC 面积的 2 倍 . ( )求 CBsinsin ; ( )
14、若 AD =1， DC = 22 求 BD 和 AC 的长 . 练习 10（ 2013 新课标 理 17） 如图 ,在 ABC 中 , 90ABC , 3AB , 1BC ,P 为 ABC内一点 , 90BPC . （）若 21PB ，求 PA ； （）若 150APB ，求 PBAtan . - 9 - 练习 11(15 年安徽理科 ) 在 ABC 中， , 6 , 3 24A A B A C ,点 D 在 BC 边上， AD BD ，求 AD 的长。 7.综合应用 例 14 设锐角三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a 2bsinA. 求角 B 的大小； 求 co
