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1、数学 苏（理）,3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值,第三章 导数及其应用,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.,2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,(2)求可导函数极值的步骤： 求f(x
2、)； 求方程 的根； 检查f(x)在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .,f(x)0,f(x)0,极大值,极小值,3.函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)
3、在(a，b)内的 ； 将f(x)的各极值与 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,极值,f(a)，f(b),思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ),(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) (6)函数f(x)xsin x有无数个极值点.( ),(0,1
4、),(1，),解析,当k1时，f(x)exx1，f(1)0， x1不是f(x)的极值点. 当k2时，f(x)(x1)(xexex2)， 显然f(1)0，且x在1附近的左边f(x)0， f(x)在x1处取到极小值.故只有正确.,例1 已知函数f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间；,思维点拨,解析,思维升华,题型一 利用导数研究函数的 单调性,函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论.,思维点拨,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间；,题型一 利用导数研究函数的 单调性,解 f(x)exa， (1)若a0，则f(x)exa0， 即
5、f(x)在R上单调递增， 若a0，令exa0，则exa，xln a.,思维点拨,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间；,题型一 利用导数研究函数的 单调性,因此当a0时，f(x)的单调增区间为R， 当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，).,思维点拨,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间；,题型一 利用导数研究函数的 单调性,(1)利用导数的符号来判断函数的单调性； (2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；,思维点拨,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)exax1. (1)求f(x
6、)的单调增区间；,题型一 利用导数研究函数的 单调性,(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,思维点拨,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间；,题型一 利用导数研究函数的 单调性,例1 (2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在
7、，请说明理由.,函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论.,解 f(x)exa0在(2,3)上恒成立. aex在x(2,3)上恒成立. e2exe3，只需ae3. 当ae3时，f(x)exe30在x(2,3)上恒成立，,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,即f(x)在(2,3)上为减函数， ae3. 故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上为减函数.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,(
8、1)利用导数的符号来判断函数的单调性； (2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,解析 f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a) ， 由a1知
9、，当x0， 故f(x)在区间(，2)上是增函数； 当2x2a时，f(x)0， 故f(x)在区间(2,2a)上是减函数；,跟踪训练1 (1)设函数f(x) x3(1a)x24ax24a，其中常数a1，则f(x)的单调减区间为_.,当x2a时，f(x)0， 故f(x)在区间(2a，)上是增函数. 综上，当a1时， f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数， 在区间(2,2a)上是减函数.,跟踪训练1 (1)设函数f(x) x3(1a)x24ax24a，其中常数a1，则f(x)的单调减区间为_.,(2,2a),即bx(x2)在1，)上恒成立，令g(x)x(x2)(x1)21， 所以g(x)min
10、1，则b的取值范围是(，1.,(2)若f(x) x2bln(x2)在1，)上是减函数，则b的取值范围是_.,(，1,解析,思维升华,解 由f(x)exax，得f(x)exa. 又f(0)1a1，得a2. 所以f(x)ex2x，f(x)ex2. 令f(x)0，得xln 2. 当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减；,解析,思维升华,当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增. 所以当xln 2时，f(x)取得极小值， 且极小值f(ln 2)eln 2 2ln 22ln 4， f(x)无极大值.,解析,思维升华,(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注
11、意分析这个零点是不是原函数的极值点.,解析,思维升华,(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间内单调函数没有极值.,解析,思维升华,例2 (2)证明：当x0时，x2ex.,解析,思维升华,证明 令g(x)exx2，则g(x)ex2x. 由(1)得g(x)f(x) f(ln 2)0. 故g(x)在R上单调递增，又g(0)10， 因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.,解析,思维升华,例2 (2)证明：当x0时，x2ex.,解析,思维升华,例2 (2)证明：当x0时，x2ex.,(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点，所
12、以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点.,解析,思维升华,例2 (2)证明：当x0时，x2ex.,(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间内单调函数没有极值.,(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. 解 若f(x)为R上的单调函数， 则f(x)在R上不变号，结合与条件a0， 知ax22ax10在R上恒成立， 即4a24a4a(a1)0， 由此并结合a0，知0a1. 所以a的取值范围为a|0a1.,例3 (2014四川改编)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对
13、数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,题型三 利用导数求函数的最值,解析,思维升华,解析,思维升华,例3 (2014四川改编)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,题型三 利用导数求函数的最值,解 由f(x)exax2bx1， 有g(x)f(x)ex2axb. 所以g(x)ex2a. 因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a.,当a 时，g(x)0，,所以g(x)在0,1上单调递增，,解析,思维升华,例3 (2014四川改编
14、)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,题型三 利用导数求函数的最值,因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；,当a 时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，,因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；,当 a 时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，,所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减， 在区间ln(2a)，1上单调递增.,解析,思维升华,例3 (2014四川改编)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为
15、自然对数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,题型三 利用导数求函数的最值,于是，g(x)在0,1上的最小值是,g(ln(2a)2a2aln(2a)b.,综上所述，当a 时，g(x)在0,1上的最小值是,g(0)1b；,当a 时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.,当 a 时，g(x)在0,1上的最小值是,g(ln(2a)2a2aln(2a)b；,(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在(a，b)内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得. (2)可以利用列表法研究函数在一个区间上
