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1、一元二次方程的应用（2）导学案（新版新人教版）第9课时一元二次方程的应用一、学习目标1会利用一元二次方程解答数字问题会利用一元二次方程解答营销问题；会利用一元二次方程解答动态几何问题.二、知识回顾1.用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：审题找等量关系；设元列方程；求解并检验；写出答案数字问题中常用的数量关系有：两位数表示为：十位数字10+个位数字；三位数表示为：百位数字100+十位数字10+个位数字；三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.三、新知讲解一元二次方程的应用营销
2、问题每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解四、典例探究一元二次方程的应用数字问题【例1】一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法：如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表
3、示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2练1有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.练2刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b1，例如：把放入其中，就会得到32+1=6现将实数对放入其中，得到实数2，则的值是A3B1c3或1D3或1一元二次方程的应用营销问题【例2】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定
4、位多少元？总结：用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润销售量=总利润.用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.每每型问题中，每次涨价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润销售量=总利润.每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.练3水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0
5、.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤；销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？一元二次方程的应用动态几何问题【例3】如图ABc，B=90，AB=6，Bc=8点P从A开始沿边AB向点B以1c/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边Bc向点c以2c/s的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点c时，两点停止运动，问：经过几秒，PBQ的面积等于8c2？PBQ的面积会等于10c2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由总结：动态几何问题指图形中存在动点、动线、动
6、图等方面的问题.解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.练4如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙Ac上，这时B到墙c的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=AcAA1=0.4=2而A1B1=2.5，在RtA1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程，解方程得x1=，x2=，点B将向外移动米解完“思考题”后，小
7、聪提出了如下问题：梯子的顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题五、课后小测一、选择题已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是A5和9B9和5c5和5或9和9D5和9或9和5西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克为了促销，该经营户决定降价销售经调查发现，这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2o0元，应将每千克小型西瓜的售价降低元A0.2或0.3B0.4c0.3D0.2如图，房间地面的图案是用大小相
8、同的黑、白正方形镶嵌而成图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是A44B45c46D47二、填空题若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是_商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件据此规律计算：每件商品降价_元时，商场日盈利可达到2100元三、解答题怎样用一条长40c的绳子围成一个面积为96c2的矩形？能围成一个面积为102c2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店
9、以每个20元的价格购进900个某新型商品周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售若第二周降低价格1元售出，则周，第二周分别获利多少元？若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？等腰ABc的直角边AB=Bc=10c，点P、Q分别从A、c两点同时出发，均以1c/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边Bc的延长线运动，PQ与直线Ac相交于点D设P点运动时间为t，PcQ的面积为S求出S关于t的函数关系式
10、；当点P运动几秒时，SPcQ=SABc？作PEAc于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论9.如图，长方形ABcD，AB=6c，AD=2c，动点P、Q分别从点A、c同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为t，问：当t=1秒时，四边形BcQP面积是多少？当t为何值时，点P和点Q距离是3c？当t=以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形典例探究答案：【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是，则这个两位数为10+x，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解解
11、：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是，根据题意得10+x=x2原方程可化为：x211x+30=0，x1=5，x2=6，当x=5时，x3=2，两位数为25；当x=6时，x3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解练1【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为，则这个两位数为10+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为.根据题意，得10+x=3x，原方程可化为：3x2-17x+20=
12、0,因式分解，得=0，解得x1=，x2=4.因为x为整数，所以x=不符合题意，x=4.0+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含的一元二次方程的结果为2，列式求值即可解：由题意得：2+1=2，23=0，=0，解得1=3，2=1故选：D点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可解：降价x元，则售价为元，销售量为件，根据题意，得=6080，解得x1=1，x2=4，
13、又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56，答：应将销售单价定为56元点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解练3【解析】销售量=原来销售量下降销售量，据此列式即可；根据销售量每斤利润=总利润列出方程求解即可解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+20=100+200x斤；根据题意得：=300，解得：x=或x=1，每天至少售出260斤，x=1答：张阿姨需将每斤的售价降低1元点评：本题考查理解题意的能力，问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润第二问，根据
14、售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解【例3】【解析】设经过x秒，PBQ的面积等于8c2先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；设经过y秒，PBQ的面积等于10c2根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据=b24ac进行判断解：设经过x秒，PBQ的面积等于8c2AP=1x=x，BQ=2x，BP=ABAP=6x，SPBQ=BPBQ=2x=8，x26x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8c2.设经过y秒，PBQ的面积等于10c2，则SPBQ=2y=10，即y26y+10=0，因为=b24ac=36410=40，所以PBQ的面积不会等于10c2点评：本题考查了一元二次方程的应用关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断练4
