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1、第八章,波浪理论,内容要点,.,波浪,液体,液体具有,自由表面,.,动力,风,波,重力,回复,波,.,周期,推进能力,.,流体由静止,运动,无旋,海姆兹定理,无旋,势流理论,不可压流体,拉普拉斯定理,叠加法,.,波,船（产生摇摆，击水）,船,波（船舶在水面运动或在近水面运动时产生波）,本章研究内容：,1,）波浪运动中流体质点的运动特点，自由表面的波形,特性，以及两者之间的关系,2,）,波浪运动中流体的能量,兴波阻力的概念,8.1波浪的概念,海浪：扑岸浪、风浪、涌浪,船波：,简化处理：涌浪,简化模型为余弦波或规则波,一般海浪、船波,由规则波迭加而成,本章主要研究规则波的特点，以便得到关于波浪的初
2、步知识,涌浪：远离强风区的水域，可以观察到波峰呈圆滑状，峰线较长的长周期波浪向前传播。这种近似有一定规律的波浪称为涌浪。 小振幅波的周期解是用余弦函数表达的余弦波，可以作为涌浪的简化模型。,风,波浪产生的原因：,水面压力的不均匀,船舶运动的扰动,微波,风的继续作用,风,波峰处流线密,V,P,液面,波谷处流线,疏,V P,加剧波浪,逐渐形成巨大的波浪,P,大,P,小,波浪消失的原因：风停止后,重力作用,占主要,压力均匀,水内部摩擦力,可略去不计,1,）波浪运动可近似为理想流体的运动，粘性力不起主要作用 （可略去）,2,）风停止后重力是唯一的外力，必须考虑，视流体为重流体,3,）波浪运动是周期性运
3、动，是非定常运动中的一种特例,4,）若流体为理想流体，质量力有势，则流体受风扰动后所,产生的,运动为,无旋运动,Thomas,定理,正压流体波浪运动是一种无旋运动，,永远无旋,解波浪问题,=0,边界条件,V,柯西,拉格朗日积分,P,8.1.2 微振幅波边界条件,基本假设：,1,）理想不可压重流体,2,）运动是无旋的,3,）波浪是微振幅波,二元的,h,波长,波高,h,2A,波幅,基本思路：,拉格朗日,积分方程,运动学边界条件,动力学边界条件,波浪方程,1.,微幅波的拉格朗日方程,考虑重力作用时，不可压理想势流的,拉格朗日,方程为,（,1,）（,6.2.9,8.1.2,）,令,（,8.1.3,）,
4、自由液面上的大气压,则,（,8.1.4,）,）,（,拉普拉斯方程,（,8.1.6,）,8.1.2 边界条件,1.,底部不可穿透边界条件,底部法向分速,2.,自由面上的,动力学边界条件,在自由液面上的压力等于大气压力,（,8.1.4,）,（,8.1.7,）,3.,自由面上,运动学边界条件,自由面上液体质点永远在自由面上,（,8.1.8,）,x=f(,a,b,t,),拉格朗日法,邻点,a,b,为,t=0,时该质点的坐标（为常数）,(8.1.9),z=h(,a,b,t,),P,点恒在自由表面上,（,8.1.10,）,（8.1.12）,8.1.12为,8.1.3小振幅波理论假设和边界条件的线性化,自由
5、面上的边界条件：非线性的，而且在不定边界,成立,假定,（,8.1.13,）,自由面上的边界条件变为,Z,V,=,（,8.1.14,）,（,8.1.15,）,（,8.1.14,）（,8.1.15,）,（,8.1.16,）,（,8.1.17,）,根据假设（）（,8.1.,4,）可简化为,压差,静压力项,波动引起的压力项,8.2 小振幅波速度势,（,8.2.1,）,分离变量法求解：,令,关于,Z,的待定函数,（,8.2.2,）式入拉氏方程,（,）,通常,为二阶齐次常微分方程,（,8.2.3,）,有现成解,（,8.2.4,）,（,8.2.5,）,（8.2.2）,代入底部边界条件，得,（,8.2.6,）
6、,（,8.2.5,）,（,8.2.7,）,8.3 小振幅波要素,波面方程,（,8.2.9,）（,8.3.1,）,波幅,相位,8.3.1,波长,L,和波数,k,L,波长,k,波数,T,周期,圆频率,若,1,x,、,2,x,两点的相位差为,2,则,这时,在,2,距离（空间）内有,k,个波长,L,称为波数,8.3.2,周期,T,与频率,周期,:T,2,/,频率,:n,1/T,8.3.3,波速（相速度）,即：相位,f(x,t)x,与,t,的关系。,跟踪,的峰或谷，,x,与,t,的变化关系。,t,x,向右推进,，此时叫做行（进）波,。,c,=,dx,/,dt,=,/,k,L,T,/,2,/,2,=,=,
7、L,/,T,(8.3.5),当,d,无限水深,将（,8.2.11,）代入（,8.2.1,）中的综合边界条件,2,2,0,1,t,g,z,z,=,=,j,j,当,d/L1/20,时，波速与波长有关，叫做色散波。,当波速与波长无关时则叫非色散波。,8.4流体质点的运动、压力分布,8.4.1,流体质点的运动速度,1,）,j,V,由（,8.2.11,）,（,8.4.1,）,流体质点速度为：,（,8.4.2,）,z,越深,则,kz,e,（,z,为负数）,8.4.2,无限水深行波中质点的运动轨迹,这个方程的积分不能用初等函数表示对于小振幅水波，流体质,点将只在原来的静止平衡位置,(,x,。,，,z,。,）
8、,附近振荡若今,（,8,4,3,）,式右边的,x,x,。,z,z,。为,常数,.,可以得到轨迹方程的,近似积分,.,当,z,0,时，,a,p,p,-,可认为是静水压力贡献,当,z,0,时，,a,p,p,-,与事实不符，这时应取,0,p,p,-,对于深水波则用（,8.2.11,）式代入（,8.4.12,）,当,z,l,则,kz,e,8.5 波能及其传递,8.5.1,波的能量,重力波：,波能动能位能,其中位能是由于波动时液体重心高出其平衡位置所产生的,由于波形的周期性，所以只须讨论一个波长区域内波的能量。,A.动能,y方向上取单位长度，积分区域为OABD所围部分（右手定 则，y正方向）,无限水深时
9、，也同理 。,C.,单位长度（,Y,方向）平均能量,在一个波长,l,内,2,2,1,gLA,V,T,E,r,=,+,=,X,方向单位长度（且,Y,方向,单位长度）,代入,8.2.9,式得,2,0,2,0,1,2,1,2,),(,gLA,dx,A,g,V,V,V,L,r,z,r,-,+,=,-,=,代入式,8.2.9,8.5.2 波能的传递,假设水波穿过,z,轴自左向右传播，,dt,时间内通过该轴所在截面转移,的能量应等于,该,截面,上压力在,x,方向对,流,体作的功：,-,=,x,d,x,dt,pdzV,dw,一个周期内做功为：,-,=,x,d,T,x,dt,pV,dz,w,0,（,8.4.1
10、3,）式,),cos(,),(,),(,z,t,kx,A,kd,ch,d,z,k,ch,g,p,p,a,-,-,+,+,=,s,r,(8.4.7),),cos(,),(,),(,t,kx,kd,sh,d,z,k,ch,A,V,x,s,s,-,+,=,将上两式代入,(8.5.9),考虑到,=,-,T,dt,t,kx,0,0,),cos(,s,-,-,+,=,o,d,T,dt,t,kx,dz,d,z,k,ch,kd,sh,g,A,W,0,2,2,2,),(,cos,),(,),(,2,s,wr,-,+,+,=,o,d,dz,d,z,k,ch,T,kd,sh,g,A,W,2,),(,2,1,2,),
11、(,2,2,wr,0,2,),2,(,2,4,1,2,2,),(,2,=,-,=,+,+,=,z,d,z,d,k,sh,k,d,T,kd,sh,g,A,wr,),2,(,2,4,1,2,),(,2,2,kd,sh,kd,k,T,kd,sh,g,A,+,=,wr,当,2,),2,(,2,1,2,lim,lim,c,kd,sh,kd,c,C,d,g,d,=,+,=,无限水深,2,c,E,=,v,即波浪运动中单位长度液体平均总能量的一半随同波形的传播而转,移,E= T + V,一半,一半,不,传,随波形传递,(,原处振动,),(,位能的转换,),8.6 波群和群速度,代入(8.6.6) 注意式(8.3.8a.b),(8.6.7)与(8.5.12)完全一样.说明波群推进速度就是单位长度平均能量的传递速度.,
