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1、第七章,空间解析几何初步,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,坐标轴 :,坐标面 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二. 两点间的距离公式,两点间的距离公式:,
2、对两点,与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,|AB|,提示,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、二次曲面,第二节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1.,如果曲面 S
3、 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求方程为,例1. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下
4、)球面 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2. 一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有
5、,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转椭球面,旋转抛物面,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直
6、线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的
7、曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,机动 目录
8、 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第七章,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,任取一组满足上述方程的数,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D
9、 =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此方程称为平面的一般,方程.,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间直线方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,截距式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
