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1、,第4章 非线性方程求根的迭代法,本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有效的数值方法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.,f(x)=0某个区间上可能有奇数重根或者有偶数重根，都可以转换为讨论单根的情形（具体数学细节不多加解释）。 所以此节我们考察单根情形。,4.1二分法,求非线性方程,确定方程的有根区间 计算根的近似值,的根的方法,分为两步：,首先确定有限区间：依据零点定理。 设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。,等步长扫描
2、法求有根区间,用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0是给定的步长，取 ， 若 则扫描成功；否则令 ，继续上述方法，直到成 功。如果 则扫描失败。再将h 缩小， 继续以上步骤。,等步长扫描算法 （了解）,算法：（求方程 的有根区间） (1) 输入 ； (2) ； (3) ，若 输出失败信息，停机。 (4)若 。输出 ，已算出方程的一个根，停机。,等步长扫描算法,(5) 若 。输出 为有根区间，停机 (6) ，转 3） 注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明： 在 内无根 在 内有偶重根,Qustion: 有没有更直观的方法呢？,二分法,用二分法(将区间对平分)求解。 令 若 ，则 为有根区间
3、，否则 为有根区间 记新的有根区间为 ， 则 且,二分法,对 重复上述做法得 且,二分法,设 所求的根为 ， 则 即 取 为 的近似解,二分法特点： （1）条件简单，只需要满足连续性即可。 （2）收敛速度慢，精度要求比较高时，时间花费比较大。,例题,例1 设方程,4.2 基本迭代法,迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 如：,迭代法及收敛性,考察方程 。不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端 得 反复迭代得,迭代法及收敛性,若 收敛，即 则得 是 的一个根,基本迭代法,上述方法称为 基本迭代法 将 变为另一种等价形式 。 选
4、取 的某一近似值 ，则按递推 关系 产生的迭代序列 。这种方法算为简单迭代法。,若 收敛，即 称迭代法收敛，否则称迭代法发散,迭代法的几何意义,交点的横坐标,y=x,例题,例 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3. 计算结果如下:,例题,精确到小数点后五位,例题,但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列,下面考虑如下两个问题： 什么时候收敛？ 收敛速度怎么刻画？,迭代法的收敛性,定理（压缩映像原理）（了解） 设迭代函数 在闭区间 上满足 （1） （2） 满足Lipschitz条件 即 有 且 。,压缩映像原理,
5、则 在 上存在 唯一解 ， 且对 ，由 产生 的序列 收敛于 。,关于压缩映像教材上有另外一种形式 Th4.2.1 则基本迭代格式收敛的充要条件是：,例题,例 证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。 证明：,例题,例题,若取迭代函数 ， 不满足压缩映像原理，故不能肯定 收敛到方程的根。,简单迭代收敛情况的几何解释,是否取到合适的初值，是否构造合适的迭代格式，对于是否收敛是关键的。 对于初值，实际操作时，可以先画出函数图形，然后，观察根大概在什么地方。 对于迭代格式，可以对 求导，看看 是否小于1,迭代法收敛的阶 定义 设序列 收敛到 ，若有实数 和非零常数C，使得 其中， ，则称该序列是p
6、 阶收敛的，,迭代法收敛的阶,当p=1时，称为线性收敛； 当p1时，称为超线性收敛； 当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。,误差估计 若 满足定理条件，则,下面定理给出判别迭代收敛阶的一个方法,定理： 记 是 的根， ，设 在 附近连续，若对 ，有 则基本迭代法 是P阶连续的。,基本迭代法的matlab实现,function k,piancha,xk=diedai1(x0,k) % 输入的量-x0是初始值,k是迭代次数 x(1)=x0; for i=1:k x(i+1)=fun1(x(i);%程序中调用的fun1.m为函数y=(x) piancha= abs(x(i+1)-x(i); i=i+
7、1;xk=x(i);(i-1) piancha xk end,Matlab中与或非，分别是：& | 与或非,if (piancha 1),关于程序里面的fun1,可以如下类似定义 function y1=fun1(x) y1=(10-x2)/2;,作业：,1. 编程求方程 在区间(1，2)内的实根。 2. 习题4.4（P104）,4.3 Newton迭代法,设x * 是方程f (x ) = 0的根，又x0 为x * 附近的一个值 ，将f (x ) 在x0附近做泰勒展式 令 ，则,Newton迭代法,即 以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：,Newton迭代法,以此产生的序列Xn得到f(x
8、)=0的近似 解，称为Newton法，又叫切线法。,Newton迭代法几何解释,几何意义,例题,例 用Newton法求 的近似解。 解：由零点定理。,例题,例题,例 用Newton法计算 。 解：,Newton迭代法算法,Newton迭代法收敛性,定理4.3.1 给定方程 ，若满足条件： （1）在根附近，f(x)二次连续可微。 （2） 则Newton迭代法是局部二阶收敛的。 （即初值取根附近的值时，是二阶收敛的）,定理告诉我们： 单根附近是二阶收敛的,Newton法的matlab实现,function k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(x0,tol,ftol
9、,gxmax) x(1)=x0;,Newton法的matlab实现,for i=1: gxmax x(i+1)=x(i)-fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps); piancha=abs(x(i+1)-x(i); xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1; xk=x(i);yk=fnq(x(i); (i-1) xk yk piancha xdpiancha if (abs(yk)ftol) end end,Newton法的matlab实现,if igxmax disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。) k=i-1; xk=x
10、(i);(i-1) xk yk piancha xdpiancha return; end (i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha;,重根情形,Newton 迭代重根时仅有线性收敛速度，经修改后可以有二阶收敛性。 设重数为m. （1）m已知时，迭代公式修改为：,（2）m未知时，在根的附近 有单 根，对 构造newton迭代公式：,求重根的matlab实现,（一） 已知方程根的重数 供名为newtonxz.m的M文件： function k,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz(m,x0,tol,ftol,gxmax) x(1)=x0; for i
11、=1: gxmax x(i+1)=x(i)-m*fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps); piancha=abs(x(i+1)-x(i); xdpiancha=piancha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1; xk=x(i);yk=fnq(x(i); (i-1) piancha xdpiancha xk yk; if (pianchagxmax disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.) k=i-1; xk=x(i); yk=fnq(x(i); (i-1) piancha xdpiancha xk yk; return; end,求重根的matlab实
12、现,（二） 未知方程根的重数 function k,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz1(x0,tol,ftol,gxmax) x(1)=x0; for i=1: gxmax u(i)=fnq(x(i)/dfnq(x(i); du(i)=1-fnq(x(i)*ddfnq(x(i)/(dfnq(x(i)2+eps); x(i+1)=x(i)-u(i)/du(i); piancha=abs(x(i+1)-x(i); xdpiancha=piancha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1; xk=x(i);yk=fnq(x(i); if (pianchag
13、xmax disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.) k=i-1; xk=x(i); yk=fnq(x(i); (i-1) piancha xdpiancha xk yk ; return; end,例 用牛顿切线法求方程 在 附近的近似根，要求精度 . 解 在MATLAB工作窗口输入程序k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001, 0.001,100) k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001, 0.001,100),function k=fnq(x) k=2*x3-3*x2+1;
14、 %计算x处的函数值,function k=dfnq(x) k=6*x2-6*x; %计算x处的一阶导数值,作业1： 求 ，要求精度为 . 要求（1）写出牛顿迭代格式，并分析其收敛速度（可仿照p97例4.3.1） （2）写出matlab实现程序（写清程序newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)中的各参数，另外自己写程序fnq,dfnq) 作业2 习题4.5 习题 4.8,弦截法,牛顿迭代法需要计算 ，有时候是件很麻烦的事 情，比如f(x)仅给出离散的形式，可用一阶差商 代替 ， 于是有弦截法迭代公式：,弦截法是超线性收敛的,例题,例 弦截法求方程 在区间（1，2）内的实根。,弦截法的matlab实现,function k,piancha,xdp
